Spazio pseudometrico

In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio pseudometrico è una generalizzazione dello spazio metrico, in cui due punti distinti possono avere distanza zero.

Esempi di spazi pseudometrici sono costruiti a partire da una seminorma su uno spazio vettoriale.

Definizione

Uno spazio pseudometrico $(X,d)$ è un insieme $X$ dotato di una funzione

$d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

chiamata pseudometrica, che soddisfa le proprietà seguenti per ogni $x,y,z$ in $X$:

1. $\,\!d(x,x)=0$.
2. $\,\!d(x,y)=d(y,x)$ (simmetria)
3. $\,\!d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (disuguaglianza triangolare)

Differentemente da uno spazio metrico, qui non è richiesto che $d(x,y)$ sia diverso da zero per ogni coppia di punti distinti $x$ e $y$.

Esempi

Vi sono molti esempi di pseudometriche in analisi funzionale. Una seminorma $||$ su uno spazio vettoriale induce sempre una pseudometrica nel modo seguente

$d(v,w)=|v-w|.$

Ad esempio, lo spazio Lp delle funzioni misurabili su un aperto è dotato di una seminorma, e quindi di una pseudometrica.

Quoziente

Ogni spazio pseudometrico può essere quozientato canonicamente ad uno spazio metrico, nel modo seguente.

Due punti dello spazio pseudometrico $X$ sono equivalenti se hanno distanza zero. Questa relazione è effettivamente una relazione di equivalenza, e lo spazio quoziente da essa definito è uno spazio metrico, poiché la distanza

$d^{*}([x],[y])=d(x,y)$

risulta ancora ben definita anche al quoziente.

Bibliografia

• (EN) L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr., Counterexamples in topology, (1970) Holt, Rinehart and Winston, Inc..
• (EN) A.V. Arkhangelskii, L.S.Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4

Voci correlate

• Spazio uniforme