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L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a010b685126d19bf411b78ce6b1e748e294afe)
i cui termini appaiono nella forma
![{\displaystyle a_{k}=A_{k+1}-A_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3023ee9d1853a919a6608838b04de2353a43438d)
in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione
:
![{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k+1}-A_{k})=({\cancel {A_{2}}}-A_{1})+({\cancel {A_{3}}}-{\cancel {A_{2}}})+({\cancel {A_{4}}}-{\cancel {A_{3}}})+\cdots +({\cancel {A_{n}}}-{\cancel {A_{n-1}}})+(A_{n+1}-{\cancel {A_{n}}})=A_{n+1}-A_{1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfa5c6ff9b2f31e315882c152f867c85affc06d)
e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione
, dato che, a questo punto, risulta l'unica operazione non banale:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216c7c18324617852396df43d00373bd65eb9a95)
Si può dimostrare che la somma di questa serie è
infatti
![{\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}=\left(-{\frac {1}{k+1}}\right)-\left(-{\frac {1}{k}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca10c6fab7ee077227124ca4addaf9474ebc5132)
cioè si tratta di una serie telescopica con
e quindi
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {1}{n+1}}\right)-(-1)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e713ba5ba23b83246da882ad0794ced0af7cab)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}-{\frac {1-q^{k}}{1-q}}\right)={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},\quad {\text{per }}q\neq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e25a6c475f41e73ec640b897daad688c6a7e65)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=n+1,\quad {\text{per }}q=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da6bfc6e0b81837818a8202960979e2ea61f4f7)
da cui si dimostra subito che se
la serie converge a
.