Raggio di Bohr

Nel modello di Bohr dell'atomo di idrogeno, il raggio di Bohr (spesso indicato con il simbolo $a_{0}$) è il raggio dell'orbita più interna, nello stato fondamentale dell'atomo, pari a:

$a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {m_{e}e^{2}}}={\frac {\hbar }{m_{e}\,c\,\alpha }}$

dove:

• $\varepsilon _{0}$ è la permittività elettrica del vuoto,
• $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ la costante di Planck ridotta o costante di Dirac,
• $m_{e}$ la massa dell'elettrone,
• $e$ la carica dell'elettrone,
• $\alpha$ la costante di struttura fine.

In accordo con i valori CODATA del 2010, il raggio di Bohr vale $5,291777721092\cdot 10^{-11}$ m (0,53 Å, dove Å sta per Ångström).

Il raggio di Bohr viene spesso utilizzato come unità di lunghezza in fisica atomica, nel sistema denominato "Unità atomiche".

Deduzione dal modello di Bohr

Bohr, per ricavare i raggi delle orbite dell'elettrone, fece l'ipotesi che il momento angolare dell'elettrone fosse quantizzato:

$L=m_{e}vr=\hbar n\ (n\in \mathbb {N} )$ e quindi:

$v^{2}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}}{m_{e}^{2}r^{2}}}$.

Da questa ipotesi, eguagliando l'espressione della forza centripeta con l'attrazione coulombiana elettrone-nucleo si ricava:

${\frac {m_{e}v^{2}}{r}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r^{2}}}$

semplificando e sostituendo l'espressione per $v^{2}$ trovata sopra:

${\frac {\hbar ^{2}n^{2}}{m_{e}r}}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}$

e infine:

$r={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}n^{2}$

che per n=1 (stato fondamentale) riproduce il risultato aspettato.

Interpretazione quantistica

In meccanica quantistica la visione dell'elettrone su orbite rigide cade e si parla più propriamente di una densità di probabilità per la posizione dell'elettrone nello spazio.

Un'interpretazione del raggio di Bohr può essere data dal reciproco del valor medio di $r^{-1}$, ovvero in formule:

$a_{0}=\left(\int _{0}^{\infty }r^{-1}\rho _{10}(r)dr\right)^{-1}$, dove $\rho _{10}(r)$ è la densità di probabilità radiale dello stato fondamentale che vale: $\rho _{10}(r)=4r^{2}a_{0}^{-3}e^{-{\frac {2r}{a_{0}}}}$. Questa funzione, inoltre, ha un massimo proprio in $a_{0}$.

Bibliografia

• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica (Volume II), EdiSES Editore, 2001, ISBN 88-7959-152-5.
• Gianpaolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L'evoluzione della Fisica (Volume 3), Paravia, 2006, ISBN 88-395-1611-5.
• Luigi E. Picasso, Lezioni di Meccanica Quantistica (seconda edizione), Edizioni ETS, 2015, ISBN 88-467-4310-7