Equazione di Larmor

In fisica, l'equazione di Larmor o formula di Larmor, derivata da Joseph Larmor nel 1897, descrive la potenza della radiazione emessa da una particella carica non relativistica $e$ quando la particella subisce una variazione di velocità.

L'equazione

L'accelerazione di una carica produce l'emissione di radiazione elettromagnetica, che si propaga nella forma di onda. Per velocità molto inferiori alla velocità della luce la potenza totale irradiata è data dall'equazione di Larmor, che nel Sistema Internazionale è data da:^[1]

P={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}

mentre nel sistema CGS:

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}

dove $q$ è la carica, $a$ è l'accelerazione e $c$ la velocità della luce. La generalizzazione relativistica, per velocità prossime a $c$ , è fornita dai potenziali di Liénard-Wiechert.

Derivazione

Il campo generato da una particella non relativistica carica in moto, ottenuto a partire dai potenziali di Liénard–Wiechert, ha la forma:^[2]

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=q\left[{\frac {\mathbf {n} -\mathbf {\beta } }{\gamma ^{2}(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right]_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left[{\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times \mathbf {\dot {\beta }} ]}{(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right]_{\rm {ret}}\qquad \mathbf {B} =[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]_{\rm {ret}}

dove $q$ è la carica, $\mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}$ è la velocità della carica divisa per c, $\mathbf {\dot {\beta }} ={\frac {\mathbf {\dot {v}} }{c}}$ è l'accelerazione della carica divisa per c, $\mathbf {n}$ un vettore unitario parallelo a $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ ed $R$ il modulo di $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ . I termini al secondo membro sono valutati al tempo ritardato, dato da:

t'=t-{R \over c}

L'espressione del campo è la somma dei due contributi al secondo membro, relativi alla velocità e all'accelerazione della carica essendo rispettivamente dipendenti da $\beta$ e da $\beta$ e ${\dot {\beta }}$ . Il campo relativo alla velocità è proporzionale a $R^{-2}$ , e pertanto si annulla rapidamente al crescere della distanza. Il campo relativo all'accelerazione, denotato con $\mathbf {E} _{a}$ , decresce come $R^{-1}$ ed è il principale responsabile della perdita di energia da parte della carica.

La densità del flusso di energia irraggiata è fornita dal vettore di Poynting per il campo relativo all'accelerazione:

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{a}\times \mathbf {B} ={\frac {c}{4\pi }}|\mathbf {E} _{a}|^{2}\mathbf {n} ={\frac {q}{c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times \mathbf {\dot {\beta }} )}{R}}\right|^{2}

La potenza irraggiata per unità di angolo solido $\Omega$ è quindi data da:

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {c}{4\pi }}|R\mathbf {E} _{a}|^{2}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}|\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times \mathbf {\dot {\beta }} )|^{2}

Detto $\theta$ l'angolo tra i vettori $\mathbf {\dot {v}}$ e $\mathbf {n}$ , la radiazione è polarizzata nel piano generato da tali vettori e si ha:

\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}R^{2}}}\sin ^{2}{\theta }|\mathbf {\dot {v}} |^{2}{\hat {n}}

dove è determinante la dipendenza da $\sin ^{2}{\theta }$ .

La potenza totale irraggiata è ottenuta integrando su tutto l'angolo solido $\Omega$ :

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}|\mathbf {\dot {v}} |^{2}}{c^{3}}}

che è il risultato di Larmor per una carica non relativistica che accelera. Si tratta di una grandezza covariante, ovvero invariante sotto trasformazione di Lorentz.

Generalizzazione relativistica

L'equazione di Larmor può essere modificata per velocità relativistiche considerando la componente spaziale $\mathbf {p}$ del quadrimpulso $P^{\mu }$ :

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{3}m^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)

Si ottiene così la generalizzazione invariante:^[3]

P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}

La potenza irradiata dipende pertanto dall'entità della variazione della quantità di moto della carica nel tempo, ed è proporzionale al quadrato della carica ed inversamente proporzionale al quadrato della sua massa. Riscrivendo il prodotto dei quadrivettori energia-momento si ha:

{\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}\right)^{2}={\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {dP}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}\right)^{2}

dove si è sfruttato il fatto che:

{\frac {dE}{d\tau }}={\frac {Pc^{2}}{E}}{\frac {dP}{d\tau }}=v{\frac {dP}{d\tau }}

Al tendere di $\beta$ a zero, $\gamma \to 1$ e quindi $d\tau \to dt$ .

Forma non covariante

In termini dell'energia $E=\gamma mc^{2}$ e dell'impulso $\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v}$ , sostituendo:

p^{\mu }=(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} )

nell'espressione covariante, si ha:

{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\left({\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}\right)^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{d\tau }}\right)^{2}

=-\gamma ^{2}\left({\frac {d\gamma m\mathbf {v} }{dt}}\right)^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {d\gamma mc^{2}}{dt}}\right)^{2}

=-\gamma ^{2}[-(\gamma m\mathbf {\dot {v}} +\gamma ^{3}m\mathbf {v} (\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} ))^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\gamma ^{3}\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} mc^{2})^{2}]

=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}[(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2}-(\mathbf {\beta } (\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )+{\frac {\mathbf {\dot {\beta }} }{\gamma ^{2}}})^{2}]

e dunque:

{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}\left(-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2}-{\frac {\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}}{\gamma ^{4}}}\right)

Aggiungendo e sottraendo ${\frac {\mathbf {\beta } ^{2}\cdot \mathbf {\dot {\beta }} ^{2}}{\gamma ^{2}}}$ si ha:

\gamma ^{6}m^{2}c^{2}[(\mathbf {\beta } ^{2}\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}-(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2})-\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}]

e sfruttando l'identità vettoriale:

(\mathbf {\beta } \times \mathbf {\dot {\beta }} )\cdot (\mathbf {\beta } \times \mathbf {\dot {\beta }} )=(\mathbf {\beta } ^{2}\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}-(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2})

si ottiene:

P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left((\mathbf {\dot {\beta }} )^{2}-(\mathbf {\beta } \times \mathbf {\dot {\beta }} )^{2}\right)

che è l'espressione trovata da Liénard nel 1898.^[3]

Il termine $\gamma ^{6}$ evidenzia il fatto che per $\gamma \to 1$ , ovvero per $\beta <<1$ , la radiazione emessa è trascurabile. Se l'accelerazione e la velocità sono ortogonali, inoltre, la potenza è ridotta di un fattore $\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }}$ , e tale fattore di riduzione aumenta con la velocità.