Curtosi

La curtosi (nota anche come kurtosi, dal greco κυρτός), nel linguaggio della statistica, è un allontanamento dalla normalità distributiva, rispetto alla quale si verifica un maggiore appiattimento (distribuzione platicurtica) o un maggiore allungamento (distribuzione leptocurtica). La sua misura più nota è l'indice di Pearson $\beta _{2}$, rapporto tra il momento centrato di ordine 4 e il quadrato della varianza. Il valore dell'indice corrispondente alla distribuzione normale (gaussiana) è 0 (qualora si utilizzi l'indice qui sotto mostrato che, come si vede, è centrato in zero poiché viene sottratto 3). Un valore minore di 0 indica una distribuzione platicurtica, mentre un valore maggiore di 0 indica una distribuzione leptocurtica (è possibile che alcuni indici non siano centrati in zero e quindi il valore ottenuto nel caso di normalità è 3).

Introduzione

In statistica, l'indice di curtosi è uno degli indici relativi alla forma di una distribuzione, che costituisce una misura dello "spessore" delle code di una funzione di densità, ovvero il grado di "appiattimento" di una distribuzione. L'interesse per questo indice è dato dal fatto che lo "spessore" delle code influenza il comportamento di diverse statistiche.

Benché sia stato evidenziato che non c'è una relazione tra il grado di appiattimento e il coefficiente e l'indice di curtosi (si veda oltre), (Irving Kaplansky, nel 1945 in "A common error concerning Kurtosis") è rimasta in uso tale terminologia.

Indice di curtosi

La curtosi è il quarto momento standardizzato, definito come:

$\operatorname {Curtosi} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{\left\{\operatorname {E} \left[\left(X-\mu \right)^{2}\right]\right\}^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}},$

dove $\mu _{4}$ è il quarto momento centrale e $\sigma$ è la deviazione standard. Diversi simboli sono utilizzati nella letteratura per indicare la curtosi. Una scelta molto comune è $\kappa$, che va bene fintanto che è chiaro che non si riferisce a un cumulante. Altre scelte includono $\gamma _{2}$, per essere simili alla notazione della skewness, anche se a volte viene invece riservato per la curtosi in eccesso.

Coefficiente di curtosi

Il coefficiente di curtosi è dato dalla formula:

$\gamma _{2}=\beta _{2}-3,$

dove

$\beta _{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}=\operatorname {Curtosi} [X]$

è l'indice di curtosi, in cui $m_{4}$ e $m_{2}$ indicano rispettivamente il momento centrale di ordine 4 e 2. Nel caso di una variabile casuale normale, $\beta _{2}=3$, così che il coefficiente di curtosi $\gamma _{2}$ risulta uguale a zero.

Se il coefficiente di curtosi è:

• > 0 la curva si definisce leptocurtica, cioè più "appuntita" di una normale;
• < 0 la curva si definisce platicurtica, cioè più "piatta" di una normale;
• = 0 la curva si definisce normocurtica (o mesocurtica), cioè "piatta" come una normale.

Il calcolo del coefficiente di curtosi ha senso solo nelle distribuzioni monomodali.

Siccome $\beta _{2}$ e $\gamma _{2}$ vengono calcolate facendo lo scarto dalla media alla quarta potenza, valori equidistanti dalla media (simmetrici rispetto alla media) contribuiscono con lo stesso importo e valori distanti dalla media sono molto più "importanti" di quelli prossimi alla media, cosicché distribuzioni "larghe" producono $\beta _{2}$ e $\gamma _{2}$ elevati.

Essendo $\beta _{2}$ un numero puro (il denominatore e il numeratore hanno la stessa unità di misura), moltiplicare i valori della distribuzione con una costante non ha effetti sull'indicatore. Così come non ha effetti lo spostamento dell'intera curva, in quanto sia il numeratore che il denominatore fanno riferimento alla media della distribuzione.

In altre parole: se la v.c. X ha un indicatore di curtosi pari a $\beta _{2}$ e $Y=a+bX$, allora Y è anch'essa una v.c. che assume un indicatore di curtosi pari a $\beta _{2}$.

Il coefficiente di curtosi (così come quello di simmetria), non rappresenta una buona stima del corrispondente parametro della popolazione se calcolato su piccoli campioni. Ciò nonostante, anche in presenza di piccoli campioni, valori elevati di tali indicatori devono far insorgere nel ricercatore il dubbio che le eventuali ipotesi di normalità non siano verificate.

Nella teoria delle probabilità e nelle statistiche, la curva di frequenza è una misura della distribuzione di probabilità di una variabile casuale con un valore reale. Una curva di frequenza più alta significa che l'aumento della varianza è dovuto non a frequenti deviazioni modeste ma a deviazioni rare estreme.

Bibliografia

• (EN) D. N. Joanes e C. A. Gill, Comparing measures of sample skewness and kurtosis, in Journal of the Royal Statistical Society. Series D (The Statistician), vol. 47, n. 1, New York, John Wiley & Sons, aprile 1998, pp. 183-189, DOI:10.1111/1467-9884.00122.

Voci correlate

• Funzione generatrice dei momenti
• Gaussiana
• Analisi delle componenti indipendenti
• Irving Kaplansky, che evidenziò l'assenza di relazione tra il concetto di "grado di appiattimento" e gli indici di curtosi e di simmetria.
• Media (statistica)
• Simmetria (statistica)
• Varianza

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Collegamenti esterni

• curtosi, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) kurtosis, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Curtosi, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Free Online Software (Calculator) Archiviato l'8 dicembre 2012 in Archive.is. calcola vari tipi di statistiche su curtosi e simmetria per un dato campione

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