Coefficienti del metodo delle differenze finite

In matematica, per approssimare una derivata di qualsiasi ordine di una funzione, è possibile agire utilizzando le differenze finite. Sono suddivise in differenze finite centrate, in avanti oppure all'indietro.

Differenze finite centrate

Nella tabella seguente si riportano i coefficienti per ottenere derivate centrate di diverso ordine di accuratezza:

Derivata	Accuratezza	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
1	2				−1/2	0	1/2
	4			1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6		−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8	1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2				1	−2	1
	4			−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6		1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8	−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2			−1/2	1	0	−1	1/2
	4		1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6	−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2			1	−4	6	−4	1
	4		−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6	7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240

Ad esempio, se si vuole approssimare la derivata terza con un'accuratezza del secondo ordine:

$\displaystyle f'''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right)$

Differenze finite decentrate

Nella seguente tabella si riportano invece i coefficienti per le derivate in avanti (per le derivate all'indietro dispari, ovvero la prima, la terza eccetera, è sufficiente cambiare di segno tutti i coefficienti):

Derivata	Accuratezza	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Ad esempio, la derivata prima in avanti con accuratezza del terzo ordine è:

$\displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right)$

mentre la corrispondente derivata all'indietro è:

$\displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right)$

Bibliografia

• (EN) LLoyd N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Cornell University, 1996.
• (EN) Fornberg, Bengt (1988), "Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids", Mathematics of Computation 51 (184): 699–706

Voci correlate

• Differenza finita
• Metodo delle differenze finite

Collegamenti esterni

• (EN) Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations , su web2.comlab.ox.ac.uk.
• (EN) generation of Finite Differences Formulas on Arbitrarily Spaced Grids (PDF), su amath.colorado.edu. URL consultato il 6 aprile 2010 (archiviato dall'url originale il 10 giugno 2010).