Velocità

Indicatore di velocità di un aeromobile di piccole dimensioni.

In fisica, la velocità è definita come la derivata della posizione rispetto al tempo, ovvero il tasso di cambiamento della posizione in funzione del tempo.

Quando non specificato, per "velocità" si intende la velocità istantanea, termine utilizzato per sottolineare che la velocità in ogni istante dipende dal tempo. Ha le dimensioni di uno spazio diviso un tempo, quindi nel Sistema internazionale di unità di misura (SI) si misura in metri al secondo.

Talvolta, per analogia con la lingua inglese, si usa il termine rapidità per indicare la velocità in valore assoluto (ovvero il modulo del vettore velocità). In inglese si indica infatti con speed la rapidità e con velocity la velocità in senso vettoriale. Inoltre, la variazione della velocità (sia in aumento che in diminuzione) è l'accelerazione. Nel linguaggio comune a volte si parla di "decelerazione" quando la velocità diminuisce.

Velocità media e istantanea

La velocità è un vettore che indica la rapidità di moto (modulo), la direzione e il verso di un corpo in movimento. È quindi una grandezza vettoriale che si riduce ad una grandezza scalare soltanto in casi particolari (come ad esempio nel moto rettilineo uniforme, in cui il vettore ha una sola componente diversa da zero).

Si definisce velocità media ${\bar {\mathbf {v} }}$ il rapporto tra lo spostamento $\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}}$ e la durata ${\Delta t}={t_{2}-t_{1}}$ dell'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo:

${\bar {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}$

dove $\mathbf {r_{1}}$ e $\mathbf {r_{2}}$ sono i vettori posizione agli istanti iniziale $t_{1}$ e finale $t_{2}$.

Si definisce velocità istantanea $\mathbf {v}$ il limite della velocità media per intervalli di tempo molto brevi, ovvero la derivata della posizione rispetto al tempo:

$\mathbf {v} =\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {\mathbf {r} (t_{2})-\mathbf {r} (t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=\lim _{\Delta t\to 0}{{\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)} \over \Delta t}={\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}$

Si noti che la velocità media è proprio la media della velocità istantanea in un tempo finito $\Delta t$:

$\langle \mathbf {v} \rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\mathbf {r} (t_{2})-\mathbf {r} (t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}$

avendo usato il teorema fondamentale del calcolo integrale.

In un contesto più formale, sia $s(t)$ la lunghezza di un arco della curva percorsa dall'oggetto in moto, ovvero lo spostamento dell'oggetto al tempo $t$. La norma della velocità istantanea nel punto $\mathbf {r} =(x,y,z)$ è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:

$v={\frac {ds}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\right)={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}$

ed il vettore velocità ha la direzione del moto:

$\mathbf {v} =v\mathbf {\hat {\mathbf {T} }}$

con ${\hat {\mathbf {T} }}$ il vettore unitario tangente alla curva.

Velocità in due dimensioni

Utilizzando uno spazio bidimensionale, la velocità media e quella istantanea si possono scomporre nel seguente modo:

${\bar {\mathbf {v} }}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}\qquad \mathbf {v} ={\frac {dx}{dt}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {dy}{dt}}{\hat {\mathbf {y} }}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}$

dove ${\hat {\mathbf {x} }}$ e ${\hat {\mathbf {y} }}$ sono vettori unitari in direzione degli assi $x$ e $y$. Il modulo del vettore velocità è a sua volta scomponibile nei suoi componenti:

$|{\bar {\mathbf {v} }}|={\sqrt {\left({\frac {\Delta x}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta y}{\Delta t}}\right)^{2}}}\qquad |\mathbf {v} |={\sqrt {{v_{x}}^{2}+{v_{y}}^{2}}}$

mentre l'angolo $\alpha$ formato dal vettore $\mathbf {v}$ con l'asse delle ascisse è dato da:

$\tan \alpha ={\frac {v_{y}}{v_{x}}}\qquad v_{x}=|\mathbf {v} |\cos \alpha \qquad v_{y}=|\mathbf {v} |\sin \alpha$

Se si considera il vettore posizione $\mathbf {r}$, con $d\mathbf {r} =(dr,rd\theta )$, la velocità $\mathbf {v}$ si può scomporre in direzione perpendicolare e parallela alla posizione:

$\mathbf {v} =v_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+v_{\theta }{\hat {\mathbf {r} }}_{\perp }={\frac {dr}{dt}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {rd\theta }{dt}}{\hat {\mathbf {r} }}_{\perp }$

dove $v_{r}={dr \over dt}$ è il modulo della velocità in direzione di $\mathbf {r}$, mentre $v_{\theta }={rd\theta \over dt}$ è il modulo della velocità ortogonale a $\mathbf {r}$.

La norma del vettore è pertanto:

$v={\frac {ds}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\right)={\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}}}$

e la direzione è sempre tangente alla curva percorsa.

Velocità scalare

La velocità scalare media è una grandezza scalare definita come lo spazio totale percorso diviso il tempo impiegato, e tale definizione è molto diversa da quella per la velocità vettoriale media. Per esempio, nel moto circolare (il moto che avviene lungo una circonferenza) dopo un periodo $T$ la velocità vettoriale è nulla, perché il punto di arrivo e quello di partenza coincidono, ovvero $\Delta \mathbf {r} =0$, mentre la velocità scalare media è uguale a ${\frac {2\pi R}{T}}$, con $R$ il raggio della circonferenza.

Data una traiettoria curva $\gamma$, la velocità scalare media è definita come:

$\langle v_{s}\rangle ={\frac {1}{\Delta t}}\int _{\gamma }\,\mathrm {d} \mathbf {r} ={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\|\mathbf {v} (t)\|\mathrm {d} t$

dove l'integrale è la lunghezza della curva che descrive la traiettoria. La velocità scalare non è quindi semplicemente la norma della velocità vettoriale media, e si può dimostrare che la prima è sempre maggiore o uguale della seconda.

Per studiare dal punto di vista geometrico la velocità è comodo ricorrere a due tipi di grafici, quello spazio-tempo e quello velocità tempo. La figura mostra il grafico di uno spostamento unidimensionale, e si può notare come i due grafici siano tra di loro correlati.
Il grafico dello spostamento presenta concavità verso il basso: questo corrisponde al fatto che il grafico della velocità è decrescente.
Al tempo t₁ il grafico di x(t) ha pendenza positiva, per cui v(t₁) è maggiore di zero.
Al tempo t₂ il grafico di x(t) ha pendenza nulla, per cui v(t₂) è nulla.
Al tempo t₃ il grafico di x(t) ha pendenza negativa, per cui v(t₃) è minore di zero.

Caduta nel campo gravitazionale

In caso di caduta di un oggetto immerso in un campo gravitazionale, la velocità finale dell'oggetto può essere determinata utilizzando la conservazione dell'energia, ottenendo così una semplice espressione:

$v={\sqrt {2gh}}$

dove h è la differenza di quota tra il punto di caduta e quello in cui l'oggetto si ferma.

In quest'ultimo caso si parla di velocità di impatto.

Velocità terminale di caduta

Per velocità terminale di caduta (o velocità limite) si intende la velocità massima che raggiunge un corpo in caduta. Cadendo attraverso un fluido infatti il corpo incontra una crescente resistenza all'aumentare della velocità e quando l'attrito eguaglia la forza di attrazione gravitazionale la velocità si stabilizza.

Velocità limite

Il fatto, implicito nelle equazioni di Maxwell per la propagazione delle onde elettromagnetiche e verificato sperimentalmente agli inizi del '900, che la velocità di un fotone (o di un'onda elettromagnetica) nel vuoto è identica per tutti i sistemi di riferimento (e pari a 299792458 m/s) ha portato alla necessità di modificare le equazioni del moto e della dinamica. Una delle conseguenze di queste modifiche (teoria della relatività ristretta o particolare di Albert Einstein) è che la velocità massima raggiungibile al limite da un qualunque oggetto fisico è quella della luce nel vuoto. Da non confondere con la velocità terminale di caduta, a volte detta anche velocità limite.

Composizione delle velocità

Considerando ad esempio una barca che si muove con una velocità v rispetto all'acqua di un canale che a sua volta si muove con una velocità V rispetto alla riva, si prenda un osservatore O solidale con la riva e un osservatore O' solidale con la barca. Abbiamo che

$v=v_{0^{'}}+V$

Quindi per l'osservatore fisso le velocità della corrente e della barca si compongono sommandosi quando la barca va nel verso della corrente e sottraendosi quando va controcorrente. Va sottolineato che O' con i suoi strumenti misura sempre la velocità v della barca rispetto all'acqua e può anche misurare la velocità con la quale l'acqua scorre davanti O. Questo misura anch'esso la velocità con la quale si muove l'acqua e a differenza di O' misura pure la velocità di O' rispetto alla sponda del canale. Una situazione del tutto analoga si verifica pure quando la barca si muove trasversalmente alla corrente.

Questo tipo di composizione delle velocità introdotta da Galilei, nella teoria della relatività galileiana, era già nota a Leonardo da Vinci che fa l'esempio di un arciere che lancia una freccia dal centro della Terra verso la superficie. L'esempio è ripreso in maniera più formale da Galilei. Qui un osservatore esterno alla Terra vede comporsi il moto rettilineo della freccia lungo un raggio e il moto rotatorio della Terra. Il moto risultante è una spirale di Archimede. La freccia si muove con il moto rettilineo uniforme. Lo spazio percorso risulta allora

$s=vt$

Le proiezioni di s sui due assi è quindi come visto per il moto circolare

$x=vt\cos(\omega t)$

$y=vt\,\mathrm {sen} (\omega t)$

Composizione delle velocità in relatività speciale

Nella teoria della relatività speciale, passando da un sistema di riferimento $S$ a un sistema di riferimento $S'$, la velocità di una particella si trasforma nel modo seguente:

$v'_{x}={\frac {v_{x}-V}{1-v_{x}V/c^{2}}},\qquad v'_{y}={\frac {v_{y}}{\gamma (1-v_{x}V/c^{2})}},\qquad v'_{z}={\frac {v_{z}}{\gamma (1-v_{x}V/c^{2})}}$

dove $V$ è la velocità (diretta lungo l'asse $x$) del sistema $S'$ rispetto al sistema di riferimento $S$, e $\gamma =\gamma (V)$ è il fattore di Lorentz.

Ricavare la posizione dalla velocità

Tramite l'integrazione è possibile conoscere la posizione ricavandola dalla velocità.

La definizione scalare di velocità è data da:

$v(t)={\frac {\operatorname {d} r(T)}{\operatorname {d} t}}$

Effettuo una separazione delle variabili portando a primo membro il r(T) e al secondo membro tutto il resto dell'equazione

$\operatorname {d} r(T)=v(t)\operatorname {d} t$

A questo punto integro entrambi i membri

$\int \operatorname {d} r(T)=\int v(t)\operatorname {d} t+C_{1}$

Se ci poniamo nella condizione che l'accelerazione sia costante (a = cost) e che la velocità è la variazione dell'accelerazione nel tempo $v=at+C_{1}$, funzione ricavata dal passaggio inverso di ricavare la velocità conoscendo l'accelerazione) otteniamo che

$r(T)=\int (at+C_{1})\operatorname {d} t+C_{2}={\frac {1}{2}}at^{2}+C_{1}t+C_{2}$

Bibliografia

• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica, vol. 1, 2ª ed., Edises, 2000, ISBN 8879591371.

Voci correlate

• Velocità media
• Velocità istantanea
• Velocità commerciale
• Velocità operativa
• Velocità di fuga
• Velocità della luce
• Velocità del suono
• Diffusività di materia
• Effetto Doppler
• Posizione
• Accelerazione
• Strappo
• Sbalzo
• Crepitio

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