Եռանկյուն
Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Եռանկյուն (այլ կիրառումներ)
Եռանկյուն, եռակողմ բազմանկյուն։ Այլ կերպ այն կարելի է սահմանել որպես այնպիսի պատկեր, որը կազմված է միևնույն ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերից, և այդ կետերը զույգ առ զույգ միացնող երեք հատվածներից։ Կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ նրա կողմեր։ A, B, և C գագաթներով եռանկյունը հաճախ նշանակում են ΔABC։
Եռանկյան տեսակներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Կախված կողմերի երկարությունների փոխհարաբերությունից և անկյունների մեծությունից, եռանկյունները լինում են ուղղանկյուն (անկյուններից մեկն ուղիղ է), բութանկյուն (անկյուններից մեկը բութ է), սուրանկյուն (բոլոր երեք անկյունները սուր են),
![]() |
![]() |
![]() |
Ուղղանկյուն | Բութանկյուն | Սուրանկյուն |
հավասարակողմ կամ կանոնավոր (բոլոր երեք կողմերն իրար հավասար են) և հավասարասրուն (հավասար են գոնե երկու կողմերը)։
![]() |
![]() |
Հավասարակողմ | Հավասարասրուն |
Եռանկյունների հավասարություն և նմանություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եռանկյունների հավասարություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց համապատասխան կողմերն ու համապատասխան անկյունները։
Եռանկյունների հավասարության հայտանիշները՝
- Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և նրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և նրանցով կազմված անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
- Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
- Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
Եռանկյունների նմանություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եռանկյունները նման են, եթե այդ եռանկյունների համապատասխան անկյունները հավասար են, իսկ համապատասխան կողմերի հարաբերությունը նույնն է։ Այսինքն ∆ABC և ∆A1B1C1 նման եռանկյունների միջև
= = , ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1։
Եռանկյունների նմանության հիմնական թեորեմներն են՝
- Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երկու անկյուններին։
- Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու կողմերը համեմատական են մյուսի երկու կողմերին և այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են։
- Երկու եռանկյուններ նման են, եթե մեկի կողմերը համեմատական են մյուսի կողմերին։
Եռանկյան հետ կապված սահմանումներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եռանկյան գագաթից տարված «բարձրություն» է կոչվում այդ գագաթից նրա դիմացի կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահայացը։ Եռանկյան բարձրությունների հատման կետը կոչվում է եռանկյան օրթոկենտրոն։
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30 աստիճանի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին։
Եռանկյան գագաթից տարված «կիսորդ» է կոչվում եռանկյան անկյան կիսորդի այն հատվածը, որի միացնում է այդ գագաթը և նրա դիմացի կողմի վրա գտնվող կետը։
Եռանկյան «միջնագիծ» է կոչվում այդ գագաթը և դիմացի կողմի միջնակետը միացնող հատվածը։
Եռանկյան «միջին գիծ» է կոչվում նրա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը։
«Ուղղանկյուն եռանկյուն» է կոչվում այն եռանկյունը, որի ներքին անկյուններից մեկը 90 աստիճան է (ուղիղ անկյուն)։ Այդ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է «ներքնաձիգ», իսկ կից կողմերը կոչվում են ուղղանկյուն եռանկյան «էջեր»։
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «սինուս» է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «կոսինուս» է կոչվում կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Trigonometry_triangle_2.svg/220px-Trigonometry_triangle_2.svg.png)
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «տանգենս» է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը կից էջին՝
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «կոտանգենս» է կոչվում կից էջի հարաբերությունը հանդիպակաց էջին՝
Եռանկյունների հետ կապված հիմնական փաստեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եռանկյունների մասին հիմնական փաստերը ուսումնասիրվել են Էվկլիդեսի կողմից՝ իր «Սկզբունքներ» ձեռնարկի 1–4 գրքերում մոտ մ․թ․ա․ 300 թվականին։
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Remint3.svg/340px-Remint3.svg.png)
Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի։ Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած եռանկյան անկյուններից գոնե երկուսը սուր են։
Եռանկյան տրված գագաթի «արտաքին անկյուն» կոչվում է եռանկյան այդ գագաթի անկյանը կից անկյունը։ Եռանկյան տրված գագաթի անկյունը նույն գագաթի ներքին անկյան հետ չշփոթելու համար, այն անվանում են «ներքին անկյուն»։ Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է նրան ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին։
Եռանկյան ցանկացած երկու կողմերի երկարությունների գումարը միշտ մեծ է երրորդ կողմի երկարությունից։ Այս հատկությունը կոչվում է «եռանկյան անհավասարություն»։
Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը, կիսորդը և բարձրությունը համընկնում են։
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Triangle.Centroid.svg/220px-Triangle.Centroid.svg.png)
Եռանկյան երեք միջնագծերը հատման կետով տրոհվում են 2։1 հարաբերությամբ մասերի, հաշված գագաթից։ Միջնագծերի հատման կետը հանդիսանում է նաև համասեռ եռանկյունաձև մարմնի ծանրության կենտրոնը։
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Triangle.Circumcenter.svg/220px-Triangle.Circumcenter.svg.png)
Եռանկյանը արտագծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը անցնում է եռանկյան բոլոր գագաթներով։ Եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան կողմերի միջնակետերով անցնող և այդ կողմերին տարած ուղղահայացների հատման կետում։
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Triangle.Incircle.svg/220px-Triangle.Incircle.svg.png)
Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը շոշափում է եռանկյան բոլոր կողմերը։ Եռակյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է կիսորդների հատման կետում։
Պյութագորասի թեորեմ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին՝
- ։
Կոսինուսների թեորեմ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝
Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։
Սինուսների թեորեմ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եռանկյան կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին՝
Սինուսների թեորեմից հետևում է, որ եռանկյան մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ, մեծ կողմի դիմաց՝ մեծ անկյուն։
Եռանկյան մակերես
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Triangle.GeometryArea.svg/300px-Triangle.GeometryArea.svg.png)
Եռանկյան մակերեսի ամենատարածված հավասարումն է նրա կողմի և այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալի կեսը՝
- ։
Եռանկյան մակերեսը հավասար է նույն հիմք և բարձրություն ունեցող զուգահեռագծի մակերեսի կեսին։
Մակերեսը հաշվելու բանաձևեր.
- , քանի որ , ուստի
- - Հերոնի բանաձև
- - ուղղանկյուն եռանկյան համար
- - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները
Որտեղ
- - կողմիին տարված բարձրությունն է,
- - պարագծի կեսն է,
- - ներգծած շրջանի շառավիղն է,
- - արտագծած շրջանի շառավիղն է,
- - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։
Միջին գիծ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եռանկյան միջին գիծը, եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածն է։Միջին գիծը զուգահեռ է կողմերից մեկին և հավասար դրա կեսին։
Եռանկյունների հավասարության հայտանիշներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Թեորեմ։ Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանց կազմած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանց կազմած անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
Թեորեմ։ Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան մի կողմին և նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
Թեորեմ։ Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
Աղբյուրներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Ա. Վ. Պոգորելով «Երկրաչափություն», 1988։
- М. Я. Выгодский «Справочник по высшей математики», 1977։
![]() |
Ընթերցե՛ք «եռանկյուն» բառի բացատրությունը Հայերեն Վիքիբառարանում։ |
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 3, էջ 519)։ ![]() |