«Օղակ (մաթեմատիկա)»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

Ընթացիկ տարբերակը 00:10, 13 Մայիսի 2021-ի դրությամբ

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Օղակ (այլ կիրառումներ)

Դիցուք՝ $G$ բազմության վրա տրված են երկու գործողություն, որոնցից առաջինն անվանենք "գումարում", երկրորդը՝ "բազմապատկում"։

Համապատասխանաբար օգտվենք " + " և " $\cdot$ " նշաններից։

Սահմանում

Ռիխարդ Դեդեքինդը` օղակների տեսության հիմնադիրներից մեկը։

$($ $G,$ $+,$ $\cdot$ $)$ համակարգը կոչվում է օղակ, եթե՝

1. $($ $G,$ $+$ $)$ համակարգը տեղափոխելի խումբ է,

2. $($ $a$ $\cdot$ $b$ $)$ $\cdot$ $c$ = $a$ $\cdot$ $($ $b$ $\cdot$ $c$ $)$ (բազմապատկումն օժտված է զուգորդականությամբ),

3․ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ $\cdot$ $c$ = $a$ $\cdot$ $c$ + $b$ $\cdot$ $c$ և $a$ $\cdot$ $($ $b$ $+$ $c$ $)$ = $a$ $\cdot$ $b$ + $a$ $\cdot$ $c$ (բազմապատկումն օժտված է բաշխականությամբ գումարման նկատմամբ)

Եթե տեղի ունի նաեւ լրացուցիչ $a$ $\cdot$ $b$ = $b$ $\cdot$ $a$ պայմանը, ապա օղակը կոչվում է տեղափոխելի (աբելյան)։

Եթե $\exists \ 1\in G:\forall \ a\in G\quad a\cdot 1=1\cdot a=a$ , ապա օղակը կոչվում է միավորով, $1$ -ն էլ՝ նրա միավորը։

Օղակներ են, օրինակ, ամբողջ թվերի $\mathbb {Z}$ բազմությունը, մնացքների $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ բազմությունը։

Տեղափոխելի օղակը կոչվում է դաշտ, եթե ցանկացած ոչ զրոյական տարր ունի հակադարձ ըստ բազմապատկման, այսինքն՝
$\forall a\neq 0~\exists b:ab=ba=1$

Դաշտեր են, օրինակ, $\mathbb {Q} ,~\mathbb {R} ,~\mathbb {C} ,~\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}],~\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ բազմությունները պարզ $p$ -երի դեպքում։

Հատկություններ

Առանց ապացույցի բերենք որոշ հայտնի դրույթներ՝ օղակների և դաշտերի վերաբերյալ^[1]՝
ա) Եթե օղակի մի քանի տարրերի արտադրյալի մեջ գոնե մի արտադրիչը 0 է, ապա այդ արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այնինչ հակառակ պնդումն, ընդհանրապես ասած, ճիշտ չէ, այսինքն՝ հնարավոր է, որ $a\neq 0$ և $b\neq 0$ , բայց $ab=0$ ։ Այս պարագայում $a,b$ կոչվում են զրոյի բաժանարարներ։

Ծանոթագրություններ

↑ Գ.Ա.Ղարագեբակյան` Թվերի տեսության դասընթաց։ Երևան 2008 թ.

[1] Գ.Ա.Ղարագեբակյան` Թվերի տեսության դասընթաց։ Երևան 2008 թ.

[1]

@@ Տող 1. / Տող 1. @@
+{{Այլ կիրառումներ|Օղակ (այլ կիրառումներ)}}
 {{վիքիֆիկացում}}
-Դիցուք <math>G </math> բազմության վրա տրված են երկու գործողություն, որոնցից առաջինը անվանենք "գումարում", իսկ երկրորդը՝ "բազմապատկում"։
+Դիցուք՝ <math>G </math> բազմության վրա տրված են երկու գործողություն, որոնցից առաջինն անվանենք "գումարում", երկրորդը՝ "բազմապատկում"։
 Համապատասխանաբար օգտվենք " + " և " <math>\cdot </math> " նշաններից։
 ==Սահմանում==
-[[Պատկեր:Dedekind.jpeg|thumb|100px|right|Րիխարդ Դեդեկինդը` օղակների տեսության հիմնադիրներից մեկը:]]
+[[Պատկեր:Dedekind.jpeg|thumb|311x311px|Ռիխարդ Դեդեքինդը` օղակների տեսության հիմնադիրներից մեկը։]]
-<math>( </math> <math>G, </math> <math>+, </math> <math>\cdot </math> <math>) </math> համակարգը կոչվում է օղակ, եթե`<br />
+<math>( </math> <math>G, </math> <math>+, </math> <math>\cdot </math> <math>) </math> համակարգը կոչվում է '''օղակ''', եթե՝
-. <math>( </math> <math>G, </math> <math>+ </math> <math>) </math> համակարգը տեղափոխելի խումբ է։<br />
+. <math>( </math> <math>G, </math> <math>+ </math> <math>) </math> համակարգը տեղափոխելի խումբ է,
-. <math>( </math> <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>b </math> <math>) </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> = <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>( </math> <math>b </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> <math>) </math><br />
+. <math>( </math> <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>b </math> <math>) </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> = <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>( </math> <math>b </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> <math>) </math> (բազմապատկումն օժտված է զուգորդականությամբ),
-. <math>G </math> - ում <math>\exists </math> մի այնպիսի տարր` <math>1 </math>, որ <math>\forall </math> <math>a </math> <math>\epsilon </math> <math>G </math>-ի համար` <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>1 </math> = <math>1 </math> <math>\cdot </math> <math>a </math> = <math>a </math><br />
+․ <math>( </math> <math>a </math> <math>+ </math> <math>b </math> <math>) </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> = <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> + <math>b </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> և <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>( </math> <math>b </math> <math>+ </math> <math>c </math> <math>) </math> = <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>b </math> + <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> (բազմապատկումն օժտված է բաշխականությամբ գումարման նկատմամբ)
-. <math>( </math> <math>a </math> <math>+ </math> <math>b </math> <math>) </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> = <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> + <math>b </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> և <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>( </math> <math>b </math> <math>+ </math> <math>c </math> <math>) </math> = <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>c </math> + <math>b </math> <math>\cdot </math> <math>c </math>
+Եթե տեղի ունի նաեւ լրացուցիչ <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>b </math> = <math>b </math> <math>\cdot </math> <math>a </math> պայմանը, ապա օղակը կոչվում է տեղափոխելի (աբելյան)։
+Եթե <math>\exists \ 1 \in G: \forall \ a \in G \quad a \cdot1 =1 \cdot a = a </math>, ապա օղակը կոչվում է '''միավորով,''' <math>1 </math>-ն էլ՝ նրա միավորը։
-Եթե <math>G </math> - ի բոլոր տարրերի համար տեղի ունի նաև <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>b </math> = <math>b </math> <math>\cdot </math> <math>a </math> պայմանը, ապա օղակը կոչվում է տեղափոխելի(Աբելյան)։
+Օղակներ են, օրինակ, ամբողջ թվերի <math>\mathbb{Z} </math> բազմությունը, մնացքների <math> \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} </math> բազմությունը։
-==Դաշտ==
-Տեղափոխելի օղակը կոչվում է '''դաշտ''', եթե ցանկացած ոչ զրոական տարր ունի հակադարձ ըստ բազմապատկման, այսինքն՝ <math>( </math> <math>\forall </math> <math>a </math> <math>\neq </math> <math>0 </math> <math>\exists </math> <math>b </math> <math>)     </math> <math>a </math> <math>\cdot </math> <math>b </math> = <math>b </math> <math>\cdot </math> <math>a </math> = <math>1 </math>:<br />
+Տեղափոխելի օղակը կոչվում է '''դաշտ''', եթե ցանկացած ոչ զրոյական տարր ունի հակադարձ ըստ բազմապատկման, այսինքն՝ <br /><math>\forall a\neq 0~ \exists b: ab = ba = 1 </math>
+Դաշտեր են, օրինակ, <math>\mathbb{ Q},~\mathbb {R},~\mathbb{C},~\mathbb{Q}[\sqrt 3],~\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} </math> բազմությունները պարզ <math>p </math>-երի դեպքում։
-== Դրույթներ ==
+== Հատկություններ ==
-Առանց ապացույցի բերենք որոշ հայտնի դրույթներ` օղակների եւ դաշտերի վերաբերյալ`<ref>Գ.Ա.Ղարագեբակյան` Թվերի տեսության դասընթաց: Երեւան 2008թ.</ref><br />
+Առանց ապացույցի բերենք որոշ հայտնի դրույթներ՝ օղակների և դաշտերի վերաբերյալ<ref>Գ.Ա.Ղարագեբակյան` Թվերի տեսության դասընթաց։ Երևան 2008 թ.</ref>՝<br />ա) Եթե օղակի մի քանի տարրերի արտադրյալի մեջ գոնե մի արտադրիչը <big>0</big> է, ապա այդ արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այնինչ հակառակ պնդումն, ընդհանրապես ասած, ճիշտ չէ, այսինքն՝ հնարավոր է, որ<math>a\neq0 </math> և <math>b\neq 0 </math>, բայց <math>ab=0 </math>։ Այս պարագայում <math>a,b </math> կոչվում են '''զրոյի բաժանարարներ'''։
-ա) <big>P</big> օղակում <big>a+x=0</big> հավասարումն ունի միակ լուծում, անկախ <big>a</big>-ի ընտրությունից: Այն նշանակվում է <big>0</big> եւ կոչվում է զրոյական տարր (սակայն այն տեղին չէ նույնացնել <big>0</big> թվի հետ):<br />
-բ) Եթե <big>P</big> օղակի մի կամ մի քանի տարրերի արտադրյալի մեջ գոնե մի արտադրիչը <big>0</big> է, ապա այդ արտադրյալը հավասար է զրոյի: Այնինչ` հակառակ պնդումն, ընդհանրապես ասած, ճիշտ չէ, այսինքն` հնարավոր է, որ <big>a≠0</big> եւ <big>b≠0</big>, բայց` <big>ab=0</big>: այս պարագայում <big>a,b <math>\epsilon </math> P</big> տարրերը կոչվում են '''զրոյի բաժանարարներ''':<br />
 == Ծանոթագրություններ ==
 {{ծանցանկ}}
+{{Արտաքին հղումներ}}
-[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
+[[Կատեգորիա:Աբստրակտ հանրահաշիվ]]
+[[Կատեգորիա:Օղակների տեսություն]]