Кальцо (алгебра)

Кальцо́, ці ко́лца — мноства R з дзвюма аперацыямі, якія ўмоўна называюцца «складаннем» (" $+$ ") і «множаннем» (" $\cdot$ "), прычым адносна складання R ёсць абелева група, а «множанне» ўзгоднена са «складаннем» паводле размеркавальнага закона.

Прыкладам кальца з'яўляецца мноства $\mathbb {Z}$ цэлых лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Адмысловым выпадкам кальца з'яўляецца поле, якое адметна найперш тым, што для любога ненулявога элемента існуе адваротны (адносна множання), у выніку чаго становіцца магчымым вызначыць аперацыю дзялення. А вось у кальцы, у агульным выпадку, гэта не так.

Строгае азначэнне

Азначэнне кальца

Кальцо́м называецца мноства R з аперацыямі складання (" $+$ ") і множання (" $\cdot$ "), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

1. $\left(R,+\right)$ ёсць абелеваю групай (з нейтральным элементам 0)
2. Складанне і множанне падпарадкоўваюцца размеркавальнаму закону: для любых $a,b,c\in R$ справядліва:

   $a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c,$ (левы размеркавальны закон)

   $\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ (правы размеркавальны закон)

Заўвага 1: у азначэнні кальца на аперацыю «множання» накладваецца толькі адна ўмова — размеркавальны закон (правы і левы). І таму, ўвогуле кажучы, у кальцы можа не існаваць адзінкі (адносна «множання»), «множанне» можа быць неперамяшчальным (некамутатыўным), могуць існаваць дзельнікі нуля і г.д.

Заўвага 2: наяўнасць двух размеркавальных законаў неабходна, таму што «множанне» можа быць неперамяшчальным (г.зн. значэнне «здабытку» залежыць ад парадку множнікаў).

Аксіёмы кальца

Мноства R з аперацыямі складання (" $+$ ") і множання (" $\cdot$ ") з'яўляецца кальцом, калі і толькі калі яно разам з аперацыямі задавальняе сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі кальца:

1. Уласцівасці складання:
   1. $a+(b+c)=(a+b)+c$ (спалучальны закон)
   2. $a+b=b+a$ (перамяшчальны закон)
   3. Існуе элемент $0\in R$ такі, што $0+a=a$ (нейтральны элемент)
   4. Для кожнага $a\in R$ існуе адваротны адносна складання элемент $-a$, такі што $(-a)+a=0$ (процілеглы элемент)
2. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:

   $a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c,$ (левы размеркавальны закон)

   $\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ (правы размеркавальны закон)

Заўвага: дзеля зручнасці, у фармулёўках аксіём прапушчаны словы ўзору "для любых $a,b,c\in R$ ".

Літаратура

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.