Anel (álxebra)
Na álxebra, un anel é unha estrutura alxébrica formada por un conxunto () e dúas operacións: chamadas habitualmente suma e produto: ; de tal xeito que é un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos ), e o produto é asociativo, ten un elemento neutro (que designamos ) e ten a propiedade distributiva respecto da suma.
Se o produto é conmutativo falaremos dun anel conmutativo.
Se o anel non posúe un elemento neutro para o produto, chamarase rng.
Ao anel aquí definido algúns autores o denominan anel unitario (ou anel con unidade).
Definición formal
[editar | editar a fonte]Sexa un conxunto non baleiro, e sexan e dúas operacións binarias en , dise que o conxunto [a] é un anel se se cumpren as seguintes propiedades:
1. é pechado baixo a operación . 2. A operación é asociativa. 3. A operación ten 0 como elemento neutro. [b] 4. Existe un elemento inverso para .
Estas catro condicións definen un grupo. Unha quinta condición define un grupo abeliano:
5. A operación é conmutativa.
Para definir un anel, é necesario agregar catro condicións máis que falan acerca da segunda operación binaria:
6. é pechado baixo a operación . 7. A operación é asociativa. 8. A operación ten 1 como identidade multiplicativa. .[d] [e] 9. A operación é distributiva respecto de .
E agregando unha décima condición, defínese un anel conmutativo:
10. A operación é conmutativa.
Variacións na definición
[editar | editar a fonte]Na terminoloxía deste artigo, defínese que un anel ten unha identidade multiplicativa, mentres que unha estrutura coa mesma definición axiomática mais sen o requisito dunha identidade multiplicativa chámase, pola contra, rng (non é un erro, sería ring sen o "i"). Por exemplo, o conxunto de enteiros pares cos usuais + e é un rng, mais non un anel. Moitos autores aplican o termo anel sen esixir unha identidade multiplicativa e falan de anel con unidade ou anel unitario cando consideran que inclúe a identidade multiplicativa.
Incídese neste aspecto da nomenclatura xa comentado na introdución porque nas diversas páxinas da Galipedia poderá aparecer con ambos os nomes segundo as fontes do autor.
Definición sintética
[editar | editar a fonte]Un anel é un conxunto con dúas leis de composición, chamadas adición e multiplicación, cumprindo as seguintes condicións:
- é grupo abeliano para a adición; o elemento neutro nesta adición noméase cero do anel, e denótase usualmente 0.
- é un monoide para a multiplicación.
- A multiplicación é distributiva (polos dous lados) en relación á adición.
Exemplos
[editar | editar a fonte]O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos números enteiros:
- ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
xunto coas operacións binarias da suma e a multiplicación. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:
- Os números enteiros están pechados baixo a suma: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b é un número enteiro.
- A suma é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a + b) + c = a + (b + c).
- Existe un elemento neutro para a suma: para todo número enteiro a, a + 0 = 0 + a = a.
- Existe un elemento inverso para a suma (inverso aditivo): para todo número enteiro a, sempre existe algún número enteiro b, tal que a + b = 0.
- A suma é conmutativa: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b = b + a.
- Os números enteiros están pechados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a × b é un número enteiro.
- A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a × b) × c = a × (b × c).
- Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro a, a × 1 = a.
- A multiplicación é distributiva respecto da suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
- Outros exemplos
- O conxunto dos enteiros gaussianos , é un subconxunto do conxunto C dos complexos, coa adición e multiplicación usuais.
- O conxunto das matrices cadradas 2-por-2 con coeficientes nun corpo F , coa suma de matrices e multiplicación de matrices é un anel non conmutativo.
- O conxunto dos restos módulo 6; coa adición e multiplicación de restos; é un anel finito con divisores de 0.
- O conxunto dos polinomios con coeficientes en , conxunto dos enteiros, coa adición e multiplicación. Véxase: anel de polinomios.
Elementos destacables dun anel
[editar | editar a fonte]- Elemento cero: denotado por . É o neutro para a suma. Sexa A un anel arbitrario. A súa demostración sería: . Logo . Restando o inverso aditivo de , que existe dado que A é un grupo para a suma,
Pero . Finalmente
- Elemento unitario ou identidade: se un elemento, que denotamos 1, cumpre para todo elemento a do anel, denomínase elemento unitario ou identidade. Úsase identidade cando se quere evitar a confusión entre elemento unitario e unidade (unit en inglés, elementos con inverso multiplicativo).
O elemento cero e o elemento unitario só coinciden no caso de que o anel sexa trivial ( {0} ): Demostración: Sexa Logo,
- Inverso multiplicativo: é inverso multiplicativo pola esquerda (ou simplemente inverso pola esquerda) de se . Así mesmo, é inverso multiplicativo pola dereita (ou simplemente inverso pola dereita) de se . Un elemento dise que é inverso multiplicativo (ou simplemente inverso) de se é inverso pola esquerda de e inverso pola dereita de , é dicir, . Se existe o inverso dun elemento, entón este é único (pois se existise outro, "este deixaría de ser inverso").
- Elemento inversible, ou elemento invertible ou unidade: é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.
- Divisor de cero: un elemento é divisor do cero pola esquerda, se existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Éo pola dereita se existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Dirase que a é divisor de cero se o é tanto pola dereita como pola esquerda.
- Elemento regular: un elemento dun anel é regular se non é divisor de cero. Todo elemento invertible é regular.
- Elemento idempotente: é calquera elemento do anel que ao multiplicarse por si mesmo non varía, é dicir, tal que (isto adóitase escribir como ). O cero é sempre idempotente nun anel, e tamén o 1 é idempotente.
- Elemento nilpotente (ou nihilpotente): é calquera elemento do anel para o que existe un número natural de forma que (onde se define por recorrencia: , ). O 0 é sempre un nilpotente de calquera anel. Todo elemento nilpotente é divisor de cero.
Tipos de aneis
[editar | editar a fonte]Algúns tipos destacables de aneis son:
- Anel conmutativo: aquel no que o produto é conmutativo, isto é, a·b=b·a para todo a e b (non debe confundirse con anel abeliano).
- Anel unitario (definido neste artigo): aquel que posúe un elemento unitario e ademais, este é distinto do neutro da suma.
- Rng: anel sen identidade multiplicativa.
- Anel de división: é o anel no cal todo elemento, a excepción do 0, ten inverso.
- Anel con leis de simplificación: aquel no que se cumpren as leis de simplificación. Se un anel non ten divisores do cero, cúmprense as leis de simplificación, e o recíproco tamén é certo.
- Dominio de integridade: se un anel non posúe divisores do cero, é un dominio de integridade (tamén se adoita esixirlle que se trate dun anel conmutativo e unitario, mais esta esixencia non é aceptada por todos os autores).
- Corpo: trátase dun anel de división conmutativo.
- Anel abeliano: é un anel no que todo elemento idempotente pertence ao centro do anel, é dicir, todo elemento idempotente conmuta con calquera elemento do anel.
- Anel euclidiano (nome dado por A.I. Kostrikin). Un dominio de integridade R dise que é un anel euclidiano se para calquera elemento x distinto de 0 en R está determinado un enteiro n(x) maior ou igual que 0 e cumpre:
i)Para x e y elementos calquera de R, ningún nulo, n(x) menor ou igual que n(xy).
ii)Para x, y calquera, dous elementos non nulos á vez de R, existen q e r en R, de modo que x=qy+r, sendo r=0 o n(r) menor que n(y).
- n(x) é unha aplicación de R* en Z≥0, onde R* é o anel sen o seu 0.
Son aneis euclidianos o anel dos enteiros, o dos enteiros gaussianos e os aneis de polinomios. Fraleigh denomínao dominio euclidiano.
Subsistemas notables
[editar | editar a fonte]Subaneis e ideais
[editar | editar a fonte]Un subanel dun anel =(A,+,·) é un subconxunto que cumpre que é cerrado para a suma e a multiplicación no anel, isto é, se , entón e . Se (é dicir, se o anel é unitario), entón esixirase ademais que . Nótese que neste caso, cando o anel é unitario, {0} non será subanel de , e so o será se non é unitario.
Un subanel é propio cando non coincide con todo o anel, é dicir, se .
Resulta pois que un subanel é un anel dentro doutro anel (para as mesmas operacións). En particular, é un subgrupo de .
Pero na Teoría de aneis hai un tipo de subconxunto máis notable que o de subanel, o de ideal.
Un subconxunto é un ideal pola esquerda dun anel (A,+,·) se é un subgrupo de e dados calquera e tense que .
Un subconxunto é un ideal pola dereita dun anel (A,+,·) se é un subgrupo de e dados calquera e se ten que .
Cando un subconxunto é ideal pola dereita e ideal pola esquerda dise que é un ideal bilátero (do anel), ou simplemente que é un ideal (do anel).
A propiedade conmutativa asegúranos que en todo anel conmutativo todo ideal pola esquerda é ideal pola dereita, e todo ideal pola dereita é ideal pola esquerda, isto é, todos os ideais (pola esquerda ou pola dereita) dun anel conmutativo son ideais biláteros.
Un ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) dise que é propio se é distinto de todo o anel, isto é, .
Unidades
[editar | editar a fonte]O conxunto de elementos invertibles dun anel unitario denomínase conxunto de unidades (do anel), e denótase por .
Se é ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio dun anel unitario e son as súas unidades ou elementos invertibles, entón , isto é, ningún ideal propio ten elementos invertibles. En particular, ningún ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio ten por elemento a 1, o que impide aos ideais ser subaneis de aneis unitarios.
Centro
[editar | editar a fonte]O centro dun anel (denotado por ) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir . O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que . Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i.e., .
- O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Como se comentou na entrada as operacións máis frecuentes son a suma é o produto. Poderíanse usar outros símbolos para remarcar precisamente que poden ser outras operacións con tal de cumpriren esas propiedades. É frecuente por exemplo que unha das dúas operacións sexa a operación , símbolo usado usualmente para a composición.
- ↑ Outra vez esta é a terminoloxía máis frecuente, poderíamos representar o elemento neutro con outros símbolos.
- ↑ Cando a operación é a suma o elemento inverso tamén se chama simétrico ou oposto ou inverso aditivo.
- ↑ Algúns autores non asumen a existencia de 1; aquí, o termo rng úsase se non se asume a existencia dunha identidade multiplicativa. Ver sección seguinte.
- ↑ É frecuente ver escrit o elemento identidade coa letra e.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- R.B.J.T. Allenby (1991). Butterworth-Heinemann, ed. "Rings, Fields and Groups". ISBN 0-340-54440-6.
- Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
- Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
- T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). "Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3". Cambridge university Press. ISBN 0-521-27288-2.
- Dresden, G. "Small Rings." [1]
- Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
- Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
- Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
- Jacobson, Nathan (2009). Dover, ed. "Basic algebra" 1 (2º ed.). ISBN 978-0-486-47189-1.
- Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. Nova York: Wiley, pp. 19–21, 1951
- Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
- Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, Nova York, 1943. vi+150 pp.
- Kaplansky, Irving (1974). University of Chicago Press, ed. "Commutative rings". ISBN 0-226-42454-5.
- Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, Nova York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
- Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, Nova York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
- Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, Nova York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
- Lang, Serge (2005). Springer-Verlag, ed. "Undergraduate Algebra" (3º ed.). ISBN 978-0-387-22025-3..
- Matsumura, Hideyuki (1989). Cambridge University Press, ed. "Commutative Ring Theory". Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2º ed.). ISBN 978-0-521-36764-6.
- McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
- Pinter-Lucke, James (2007). "Commutativity conditions for rings: 1950–2005". Expositiones Mathematicae 25 (2): 165–174. doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001. ISSN 0723-0869.
- Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
- Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995