Polinom

Polinom je matematički izraz u obliku $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},$ uz uvjet $a_{n}\neq 0.$

Vidimo da taj izraz sadrži samo varijable i konstante povezane konačnim brojem računskih operacija:zbrajanjem, oduzimanjem i množenjem.

Polinomi imaju ključnu ulogu u proučavanju algebarskih brojeva te se uspješno primjenjuju i u drugim granama znanosti.

Definicija

Polinom jedne varijable $x$ jest izraz

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

gdje je $a_{n}\neq 0.$

Ili, kraće:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$

Polinomna funkcija je funkcija definirana polinomom. Polinomna funkcija $f(x)$ jedne varijable je

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},\,$

gdje je $a_{n}\neq 0.$

Iznimno, polinom $P(x)$ koji dobijemo stavljajući $a_{n}=0$ nazivamo nulpolinom. Uočimo da je tada $P(x)=0.$ Kažemo da je stupanj nulpolinoma jednak $-\infty$ ili $-1,$ ovisno o autoru.

Monomi, binomi, trinomi, itd.

Članovi polinoma nazivaju se monomi. Primjeri monoma su:

$2x^{2}y,-{\frac {1}{4}}x^{3}y^{2},3x^{2}y,8x^{3}y^{2},2x^{2}y$

Polinom koji u temeljnom obliku ima samo dva člana naziva se binom. Polinom s tri člana: trinom. Tako je npr. kvadrat binoma jednak polinomu od dvije varijable:

$p(x,y)=(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

Računske operacije s polinomima

Dva polinoma možemo zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i množenje je komutativno te vrijede uobičajena algebarska pravila.

No, rezultat dijeljenja dva polinoma nije uvijek polinom (primjerice, dijeljenjem polinoma $n$-tog stupnja s polinomom $m$-tog stupnja, uz uvjet $n<m,n\neq 0,$ nećemo nikada dobiti polinom) dok je kod drugih tri operacija rezultat uvijek neki polinom.

Uočimo da oduzeti dva polinoma možemo tako da polinom koji je u funkciji umanjitelja pomnožimo s $(-1)$ te ga zbrojimo s polinomom umanjenikom.

Primjeri

Uzmimo $P(x)=x^{2}+x-2,Q(x)=x-1.$ Jednostavno je izračunati njihov zbroj (razliku) i umnožak: $P(x)+Q(x)=x^{2}+2x-3,$ dok je $P(x)Q(x)=x^{3}-3x+2.$

Opišmo kako algoritamski podijeliti ova dva polinoma. Ovdje je, radi jednostavnosti, rezultat dijeljenja polinom. Želimo izračunati ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=R(x).$

Ta jednadžba je ekvivalentna s $x^{2}+x-2=(x-1)R(x).$ Uočimo da je prvi član polinoma $R(x)$ jednak $x$ pa zapišimo to:

1. korak

$(x^{2}+x-2)=(x-1)(\color {Red}x$ $+\ {\text{ostatak1}}).$ Uočimo da je "ostatak1" neki polinom $T(x).$ Sada imamo $x^{2}+x-2=x^{2}-x+(x-1)T(x).$ Dobivamo $2x-2=(x-1)T(x).$

2. korak

Jasno je da sada u drugom koraku, tražimo $2x-2=(x-1)T(x).$ Očito je sada $2x-2=(x-1)(\color {Red}2$ $+\ {\text{ostatak2}}).$ Sada je "ostatak2" zapravo nulpolinom čime je završeno dijeljenje (mogli smo uočiti i da je $2x-2=2(x-1)$).

Rješenje je $R(x)=(\color {Red}x$ $+\color {Red}2$ $)$.

Faktorizacija

Računske operacije s polinomima se izvode kao da su monomi zamijenjeni svojim vrijednostima, tj. realnim brojevima. Za faktorizaciju se upotrebljavaju algebarske formule (kao npr. binomni poučak), izlučivanje zajedničkog faktora, grupiranje članova i prikazivanje monoma u obliku zbroja ili razlike.

Nedovršeni članak Polinom koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.