Centro de masas

Este xoguete utiliza os principios do centro de masas para manter o equilibrio ao estar pousado nun dedo.

En física, o centro de masas dunha distribución de masa no espazo (ás veces denominado baricentro) é o único punto nun momento dado onde a posición relativa ponderada da masa distribuída suma cero. Este é o punto ao que se pode aplicar unha forza para provocar unha aceleración linear sen unha aceleración angular. Os cálculos en mecánica adoitan simplificarse cando se formulan en relación ao centro de masas. É un punto hipotético onde se pode supoñer que toda a masa dun obxecto está concentrada para visualizar o seu movemento. Noutras palabras, o centro de masa é a partícula equivalente dun obxecto dado para a aplicación das leis de Newton do movemento.

No caso dun só corpo ríxido, o centro de masa está fixo en relación co corpo, e se o corpo ten unha densidade uniforme, situarase no centroide. O centro de masa pode estar situado fóra do corpo físico, como é ás veces o caso de obxectos ocos ou abertos, como unha ferradura. No caso dunha distribución de corpos separados, como os planetas do Sistema Solar, o centro de masa pode non corresponder coa posición de ningún membro individual do sistema.

O centro de masa é un punto de referencia útil para os cálculos en mecánica que implican masas distribuídas no espazo, como o momento linear e angular dos corpos planetarios e a dinámica dos corpos ríxidos. En mecánica orbital, as ecuacións do movemento dos planetas formúlanse como masas puntuais situadas nos centros de masa (ver baricentro (astronomía) para máis detalles). O marco do centro de masa é un marco inercial no que o centro de masa dun sistema está en repouso con respecto á orixe do sistema de coordenadas.

Definición

O centro de masa é o único punto no centro dunha distribución de masa no espazo que ten a propiedade de que os vectores de posición ponderados con respecto a este punto suman cero.

Un sistema de partículas

No caso dun sistema de partículas P_i, i = 1, ..., n  P_i, i = 1, ..., n , cada unha con masa m_i que están situadas no espazo con coordenadas r_i, i = 1, ..., n  r_i, i = 1, ..., n , as coordenadas R do centro de masas satisfán a condición $$\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .$$

Resolvendo esta ecuación para R obtense a fórmula $$\mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_{i}}.$$

Un volume continuo

Se a distribución de masa é continua coa densidade ρ(r) dentro dun sólido Q, entón a integral das coordenadas da posición ponderada dos puntos deste volume en relación ao centro de masa R sobre o volume V é cero, é dicir. $$\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.$$

Resolvendo esta ecuación para obter as coordenadas R $$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,$$ Onde M é a masa total do volume.

Se unha distribución de masas continua ten unha densidade uniforme, o que significa que ρ é constante, daqula o centro de masa é o mesmo que o centroide (Baricentro) do volume.

Centro de gravidade

Esquema dun xoguete educativo que se equilibra nun punto: o centro de masas (C) aséntase debaixo do seu soporte (P)

O Centro de gravidade dun corpo é o punto arredor do cal desaparece o torque resultante debido ás forzas da gravidade. Cando un campo gravitatorio pode considerarse uniforme, o centro de masa e o centro de gravidade serán os mesmos. Porén, para os satélites en órbita arredor dun planeta, a falta de que se apliquen outros torques a un satélite, a lixeira variación (gradiente) no campo gravitatorio entre os lugares máis próximos e máis afastados do planeta (gravidade máis forte e máis débil respectivamente) pode conducir a un torque que tenderá a aliñar o satélite de forma que o seu eixe longo sexa vertical. Neste caso, é importante facer a distinción entre o centro de gravidade e o centro de masa. Calquera desfase horizontal entre ambos os dous dará lugar a un torque aplicado.

Momento linear e angular

O momento linear e angular dunha colección de partículas pódese simplificar medindo a posición e a velocidade das partículas en relación ao centro de masa. Sexa o sistema de partículas P_i, i = 1,... , n de masas m_i situadas nas coordenadas r_i con velocidades v_i. Seleccione un punto de referencia R e calcule a posición relativa e os vectores velocidade, $$\mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .$$

O momento linear total e o momento angular do sistema son $$\mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {v} ,$$ e $$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v}$$

Se se escolle R como centro de masa, estas ecuacións simplifícanse a $$\mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v}$$ onde m é a masa total de todas as partículas, p é o momento linear e L é o momento angular.

A lei de conservación do momento predí que para calquera sistema non sometido a forzas externas o momento do sistema permanecerá constante, o que significa que o centro de masa moverase con velocidade constante. Isto aplícase a todos os sistemas con forzas internas clásicas, incluíndo campos magnéticos, campos eléctricos, reaccións químicas, etc. Máis formalmente, isto é certo para todas as forzas internas que se cancelan de acordo coa Terceira Lei de Newton.

Determinación

Método da liña da chumbada

A determinación experimental do centro de masa dun corpo fai uso das forzas da gravidade sobre o corpo e baséase no feito de que o centro de masa é o mesmo que o centro de gravidade no campo gravitatorio paralelo preto da superficie terrestre.

O centro de masa dun corpo cun eixe de simetría e densidade constante debe situarse neste eixe. Así, o centro de masa dun cilindro circular de densidade constante ten o seu centro de masa no eixe do cilindro. Do mesmo xeito, o centro de masa dun corpo esféricamente simétrico de densidade constante está no centro da esfera. En xeral, para calquera simetría dun corpo, o seu centro de masa será un punto fixo desa simetría.

En dúas dimensións

Un método experimental para localizar o centro de masa é suspender o obxecto desde dous lugares e soltar chumbadas desde os puntos de suspensión. A intersección das dúas rectas é o centro de masas.

En tres dimensións

Un método experimental para localizar as coordenadas tridimensionais do centro de masa comeza apoiando o obxecto en tres puntos e medindo as forzas, F₁, F₂ e F₃ que resisten o peso do obxecto. $\mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}}$ ( $\mathbf {\hat {k}}$ é o vector unitario na dirección vertical). Sexan r ₁, r ₂ e r ₃ as coordenadas de posición dos puntos de apoio, entón as coordenadas R do centro de masa satisfán a condición de que o torque resultante é cero, $$\mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}=0,$$ ou $$\mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}.$$

Esta ecuación dá as coordenadas do centro de masas R* no plano horizontal como, $$\mathbf {R} ^{*}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}).$$

O centro de masas sitúase na liña vertical L, dada por $$\mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}} .$$

As coordenadas tridimensionais do centro de masa determínanse realizando este experimento dúas veces co obxecto colocado de xeito que estas forzas se midan para dous planos horizontais diferentes a través do obxecto. O centro de masas será a intersección das dúas rectas L ₁ e L ₂ obtidas dos dous experimentos.

Astronomía

Artigo principal: baricentro (astronomía).

Dous corpos orbitando o seu baricentro (cruz vermella)

O centro de masa xoga un papel importante na astronomía e na astrofísica, onde comunmente se denomina baricentro. O baricentro é o punto entre dous obxectos onde se equilibran; é o centro de masas onde dous ou máis corpos celestes orbitan entre si. Cando unha lúa orbita un planeta, ou un planeta orbita unha estrela, ambos os corpos orbitan en realidade nun punto que se atopa lonxe do centro do corpo primario (maior). Por exemplo, a Lúa non orbita o centro exacto da Terra, senón un punto dunha liña entre o centro da Terra e a Lúa, aproximadamente a 1710 km embaixo da superficie da Terra, onde se equilibran as súas respectivas masas. Este é o punto sobre o cal a Terra e a Lúa orbitan mentres viaxan arredor do Sol. Se as masas son máis semellantes, por exemplo, Plutón e Caronte, o baricentro caerá fóra de ambos os dous corpos.

Véxase tamén

Bibliografía

• Asimov, Isaac (1988) [1966]. Understanding Physics. Barnes & Noble Books. ISBN 978-0-88029-251-1. 
• Bai, Linge; Breen, David (2008). "Calculating Center of Mass in an Unbounded 2D Environment". Journal of Graphics, GPU, and Game Tools 13 (4): 53–60. doi:10.1080/2151237X.2008.10129266. 
• Baron, Margaret E. (2004) [1969]. The Origins of the Infinitesimal Calculus. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-49544-6. 
• Beatty, Millard F. (2006). Principles of Engineering Mechanics, Volume 2: Dynamics—The Analysis of Motion. Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering 33. Springer. ISBN 978-0-387-23704-6. 
• De Silva, Clarence W. (2002). Vibration and shock handbook. CRC Press. ISBN 978-0-8493-1580-0. 
• Federal Aviation Administration (2007). Aircraft Weight and Balance Handbook (PDF). United States Government Printing Office. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 19 de outubro de 2011. 
• Feynman, Richard; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1963). The Feynman Lectures on Physics 1 (Sixth printing, February 1977 ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02010-6. 
• Frautschi, Steven C.; Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (1986). The Mechanical Universe: Mechanics and heat, advanced edition. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30432-0. 
• Giambattista, Alan; Richardson, Betty McCarthy; Richardson, Robert Coleman (2007). College physics 1 (2nd ed.). McGraw-Hill Higher Education. ISBN 978-0-07-110608-5. 
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2001). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9. 
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9. 
• Goodman, Lawrence E.; Warner, William H. (2001) [1964]. Statics. Dover. ISBN 978-0-486-42005-9. 
• Hamill, Patrick (2009). Intermediate Dynamics. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-5728-1. 
• Jong, I. G.; Rogers, B. G. (1995). Engineering Mechanics: Statics. Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-026309-5. 
• Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-035048-9. 
• Levi, Mark (2009). The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14020-9. 
• Mancosu, Paolo (1999). Philosophy of mathematics and mathematical practice in the seventeenth century. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513244-1. 
• Millikan, Robert Andrews (1902). Mechanics, molecular physics and heat: a twelve weeks' college course. Chicago: Scott, Foresman and Company. Consultado o 25 de maio de 2011. 
• Murray, Carl; Dermott, Stanley (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57295-8. 
• O'Donnell, Peter J. (2015). Essential Dynamics and Relativity. CRC Press. ISBN 978-1-466-58839-4. 
• Pollard, David D.; Fletcher, Raymond C. (2005). Fundamentals of Structural Geology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83927-3. 
• Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010). Engineering Mechanics: Statics 1 (3rd ed.). Cengage Learning. ISBN 978-0-495-29559-4. 
• Rosen, Joe; Gothard, Lisa Quinn (2009). Encyclopedia of Physical Science. Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-7011-4. 
• Sangwin, Christopher J. (2006). Locating the centre of mass by mechanical means (PDF). Journal of the Oughtred Society 15. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006). Principles of physics: a calculus-based text 1 (4th ed.). Thomson Learning. Bibcode:2006ppcb.book.....J. ISBN 978-0-534-49143-7. 
• Shirley, James H.; Fairbridge, Rhodes Whitmore (1997). Encyclopedia of planetary sciences. Springer. ISBN 978-0-412-06951-2. 
• Shore, Steven N. (2008). Forces in Physics: A Historical Perspective. Greenwood Press. ISBN 978-0-313-33303-3. 
• Symon, Keith R. (1971). Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-07392-8. 
• Tipler, Paul A.; Mosca, Gene (2004). Physics for Scientists and Engineers 1A (5th ed.). W. H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0900-8. 
• Van Pelt, Michael (2005). Space Tourism: Adventures in Earth Orbit and Beyond. Springer. ISBN 978-0-387-40213-0. 
• Vint, Peter (2003). LAB: Center of Mass (Center of Gravity) of the Human Body (PDF). KIN 335 - Biomechanics. Consultado o 18 de outubro de 2013. 
• Walton, William (1855). A collection of problems in illustration of the principles of theoretical mechanics (2nd ed.). Deighton, Bell & Co. 

Outros artigos

• Baricentro (astronomía).
• Centroide (baricentro).

Ligazóns externas

• Movemento do centro de masas mostra que o movemento do centro de masas dun obxecto en caída libre é o mesmo que o movemento dun obxecto puntual.
• The Solar System's barycenter, simulacións que mostran o efecto que cada planeta contribúe ao baricentro do Sistema Solar.