Último Teorema de Fermat

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Teorema de Fermat.

O Último teorema de Fermat, ou teorema de Fermat-Wiles, afirma que non existe ningún conxunto de enteiros positivos $x$ , $y$ , $z$ e $n$ con $n$ maior que 2 que satisfaga

x^{n}+y^{n}=z^{n}

.^[1]

(Para os primeiros valores de $n$ existe unha infinidade de solucións: o caso $n=1$ é evidente, o caso $n=2$ admite, entre outras, a solución clásica 4² + 3² = 5² e utiliza o método do círculo).

Historia e características

O teorema debe o seu nome a Pierre de Fermat, que escribiu ás marxes dunha tradución de Arithmetica de Diofanto, ao lado do enunciado deste problema:

J'ai découvert une preuve tout á fait remarcable, máis la marge est trop petite pour l'écrire.

Atopei unha proba absolutamente remarcábel, mais a marxe é pequena demais para escribila.

Despois de ter sido obxecto de fervorosas investigacións durante máis de 300 anos (esa nota insinuaba que unha demostración elementar era posíbel, o que atizou a curiosidade de todos), foi finalmente demostrado en 1994 polo matemático británico Andrew Wiles. A gran maioría dos matemáticos pensan hoxe que Fermat estaba enganado: a proba (retraballada desde entón) utiliza ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoría dos números, ferramentas que aínda non existían na época en que viviu Fermat.

Máis precisamente, Wiles probou a conxectura de Shimura-Taniyama-Weil, pois sabíase xa había algún tempo que ela implicaba o teorema. A proba utiliza as formas modulares e as representacións galoisianas (de Évariste Galois, matemático francés).

Este teorema non ten aplicación ningunha per se: ten un valor importante, no entanto, debido ás ideas e ás ferramentas matemáticas que foron inventadas e desenvolvidas para probalo.

Pódese entender este teorema graficamente considerándose a curva da ecuación xⁿ + yⁿ = 1 : se n > 2, esa curva non pasa por ningún punto con coordenadas racionais diferentes de cero.

Observación

Sendo costume que se dea a un teorema o nome daquel que fixo a súa demostración, o título «teorema de Fermat» pode non ser apropiado. Deberíase falar ou dunha conxectura de Fermat ou do teorema de Wiles.

O Último Teorema de Fermat e a Literatura

Propiciando notábeis avances en varios ramos da matemática, a saga de 359 anos de tentativas, erros e acertos está admirabelmente descrita no libro Fermat's Last Theorem, do autor británico Simon Singh, con 300 páxinas.

Visión xeral

Orixes pitagóricas

A Ecuación de Pitágoras, x² + y² = z², ten un número infinito de solucións enteiras positivas para x, y e z; estas solucións coñécense como ternas pitagóricas (sendo o exemplo máis sinxelo 3, 4, 5). Ao redor de 1637, Fermat escribiu na marxe dun libro que a ecuación máis xeral aⁿ + bⁿ = cⁿ non tiña solucións en números enteiros positivos se n é un número enteiro maior que 2. Aínda que el afirmou ter unha proba xeral da súa conxectura, Fermat non deixou detalles da súa proba, e nunca se atopou ningunha. A súa afirmación foi descuberta uns 30 anos despois, despois da súa morte. Esta afirmación, que chegou a ser coñecida como Último teorema de Fermat, permaneceu sen resolver durante os seguintes tres séculos e medio.^[2]

A afirmación finalmente converteuse nun dos problemas de matemáticas sen resolver máis notables. Os intentos de demostralo provocaron un desenvolvemento substancial na teoría dos números, e co paso do tempo o Último Teorema de Fermat gañou protagonismo como problema non resolvido en matemáticas.

Enunciados equivalentes do teorema

Hai varias formas alternativas de enunciar o último teorema de Fermat que son matemáticamente equivalentes ao enunciado orixinal do problema.

Para enuncialos empregamos as seguintes notacións: sexa $N$ o conxunto de números naturais 1, 2, 3, ..., sexa $Z$ o conxunto de números enteiros 0, ±1, ±2, ..., e sexa $Q$ o conxunto de números racionais $a / b$ , onde $a$ e $b$ están en $Z$ con $b \neq 0$ . No que segue chamaremos unha solución a $x n + y n = z n$ onde se un ou máis de $x$ , $y$ ou $z$ son cero temos unha solución trivial. Unha solución na que os tres sexan diferentes de cero chamarase solución non trivial.

Por motivos de comparación comezamos coa formulación orixinal.

Declaración orixinal. Con $n$ , $x$ , $y$ , $z$ ∈ $N$ (que significa que n, x, y, z son todos números enteiros positivos) e $n > 2$ , a ecuación $x n + y n = z n$ non ten solucións.^[3]
Enunciado equivalente 1: $x n + y n = z n$ , onde o número enteiro $n$ ≥ 3, non ten solucións non triviais $x$ , $y$ , $z$ ∈ $Z$ .

A equivalencia é clara se $n$ é par. Se $n$ é impar e os tres $x, y, z$ son negativos, sempre se pode facer a sustititución polo valor negativo da variábel e reorganizar a ecuación para obter a orixinal.

Enunciado equivalente 2: $x n + y n = z n$ , onde o número enteiro $n \geq 3$ , non ten solucións non triviais $x, y, z \in Q$ .

Isto débese a que os expoñentes de $x, y,$ e $z$ son iguais, polo que se hai unha solución en $Q$ , entón pódese multiplicar por un denominador común apropiado para obter unha solución en $Z$ , e polo tanto en $N$ .

Enunciado equivalente 3: $x n + y n = 1$ , onde o número enteiro $n \geq 3$ , non ten solucións non triviais $x, y \in Q$ .

Unha solución non trivial $a$ , $b$ , $c$ ∈ $Z$ de $x n + y n = z n$ dá a solución non trivial $a / c$ , $b / c$ ∈ $Q$ para $v n + w n = 1$ . Pola contra, unha solución $a / b$ , $c / d$ ∈ $Q$ a $v n + w n = 1$ produce a solución non trivial $ad, cb, bd$ para $x n + y n = z n$ .

Esta última formulación resulta especialmente fructífera, porque reduce o problema dun problema de superficies en tres dimensións a un problema de curvas en dúas dimensións. A maiores, permite traballar sobre o corpo $Q$ , en lugar de sobre o anel $Z$ ; Os corpos presentan máis estrutura que os aneis, o que permite unha análise máis profunda dos seus elementos.

Enunciado equivalente 4: conexión con curvas elípticas: Se $a$ , $b$ , $c$ é unha solución non trivial de $a p + b p = c p$ , $p$ primo impar, logo $y 2 = x (x - a p)(x + b p)$ (curva de Frey) será unha curva elíptica sen forma modular.^[4]

Examinando esta curva elíptica co teorema de Ribet móstrase que non ten unha forma modular. No entanto, a demostración de Andrew Wiles demostra que calquera ecuación da forma $y 2 = x (x - a n)(x + b n)$ ten unha forma modular. Calquera solución non trivial para $x p + y p = z p$ (con $p$ un primo impar) polo tanto, crearía unha contradición, que á súa vez demostra que non existen solucións non triviais.^[5]

O descubrimento desta afirmación equivalente foi crucial para a solución final do Último Teorema de Fermat, xa que proporcionaba un medio polo cal podía ser "atacado" para todos os números á vez.

Camiño da solución

Os primeiros avances modernos

Sophie Germain

A principios do século XIX, Sophie Germain desenvolveu varias novas aproximacións para demostrar o último teorema de Fermat para todos os expoñentes.^[6] En primeiro lugar, definiu un conxunto de números primos auxiliares θ construídos a partir do expoñente primo p pola ecuación θ = 2hp + 1, onde h é calquera número enteiro non divisíbel por tres. Mostrou que, se ningún enteiro elevado á potencia p-ésima era adxacente ao módulo θ (a condición de non-consecutividade), entón θ debe dividir o produto xyz. O seu obxectivo era usar a indución matemática para demostrar que, para calquera p dado, habería infinitos números primos auxiliares θ que satisfarían a condición de non-consecutividade e, polo tanto, dividirían xyz; xa que o produto xyz pode ter como máximo un número finito de factores primos, tal proba estabelecería o último teorema de Fermat. Como subproduto deste traballo, probou o teorema de Sophie Germain, que verifica o primeiro caso do Último Teorema de Fermat (é dicir, o caso no que p non divide xyz) para cada expoñente primo impar menor de 270,^[6]^[7] e para todos os primos p tal que polo menos un de 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1 e 16p + 1 son primos (especialmente, os primos p tal que 2p + 1 son primos chámanse primos seguros ou primos de Sophie Germain).

Ernst Kummer e a teoría dos ideais

En 1847, Gabriel Lamé describiu unha demostración do último teorema de Fermat baseada na factorización da ecuación $x p + y p = z p$ en número complexos, concretamente o corpo ciclotómico baseado nas raíces do número 1. A súa demostración fracasou, con todo, porque asumiu incorrectamente que eses números complexos poden ter unha factorización única en números primos semellante aos enteiros. Esta lagoa foi sinalada inmediatamente por Joseph Liouville, quen máis tarde leu un artigo que demostraba este fracaso da factorización única escrito por Ernst Kummer.

Kummer púxose a tarefa de determinar se o corpo ciclotómico podería xeneralizarse para incluír novos números primos de tal xeito que se restaurase a factorización única. Nesa tarefa tivo éxito desenvolvendo os números ideais.

Usando o enfoque xeral delineado por Lamé, Kummer probou os dous casos do último teorema de Fermat para todos os números primos regulares (os primos regulares son primos que non dividen os numeradores dos números de Bernoulli). Porén, non puido demostrar o teorema dos primos excepcionais (primos irregulares) que conxecturalmente ocorren aproximadamente o 39% das veces; os únicos primos irregulares inferiores a 270 son 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 e 263.

Conxectura de Mordell

Na década de 1920, Louis Mordell expuxo unha conxectura que implicaba que a ecuación de Fermat ten como máximo un número finito de solucións enteiras primitivas non triviais, se o expoñente n é maior que dous.^[8]^[9] Esta conxectura foi probada en 1983 por Gerd Faltings,^[10] e agora coñécese como teorema de Faltings.

Estudos computacionais

Na segunda metade do século XX, utilizáronse métodos computacionais para estender o enfoque de Kummer aos números primos irregulares. En 1954, Harry Vandiver utilizou un SWAC para demostrar o último teorema de Fermat para todos os números primos ata 2521.^[11] En 1978, Samuel Wagstaff estendera isto a todos os números primos inferiores a 125.000.^[12] En 1993, o último teorema de Fermat estaba demostrado para todos os números primos inferiores a catro millóns.^[13]

Conexión con curvas elípticas

A estratexia que finalmente levou a unha proba exitosa do Último Teorema de Fermat xurdiu da ^[14]^:211 conxectura de Taniyama–Shimura–Weil, proposta ao redor de 1955, que moitos matemáticos crían que sería case imposíbel de probar,^[14]^:223 e foi vinculada na década de 1980 por Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre e Ken Ribet á ecuación de Fermat. Ao lograr unha demostración parcial desta conxectura en 1994, Andrew Wiles finalmente conseguiu probar o último teorema de Fermat, alén de abrir o camiño cara a unha demostración completa por outros do que agora se coñece como teorema da modularidade.

Conxectura de Taniyama-Shimura-Weil

Artigo principal: Teorema da modularidade.

Ao redor de 1955, os matemáticos xaponeses Goro Shimura e Yutaka Taniyama observaron un posíbel vínculo entre dúas ramas das matemáticas aparentemente completamente distintas, as curvas elípticas e as formas modulares. O teorema da modularidade resultante (naquel momento coñecido como a conxectura Taniyama-Shimura) afirma que toda curva elíptica é modular, o que significa que se pode asociar cunha forma modular única.

A ligazón foi inicialmente descartada como pouco probábel ou moi especulativa, mais tomouse máis en serio cando o teórico de números André Weil atopou probas que a apoiaban, aínda que non a demostraban; como resultado, a conxectura coñécese a miúdo como Taniyama-Shimura-Weil.^[14]^:211–215

Teorema de Ribet para as curvas de Frey

Artigos principais: Curva de Frey e Teorema de Ribet.

En 1984, Gerhard Frey observou un vínculo entre a ecuación de Fermat e o teorema de modularidade, daquela aínda unha conxectura. Se a ecuación de Fermat tivese algunha solución (a, b, c) para o expoñente p > 2, entón podería mostrarse que a curva elíptica semiestábel (agora coñecida como curva de Frey-Hellegouarch^{[note 1]})

y² = x(x − a^p)( x + b^p)

tería unhas propiedades tan pouco habituais que era improbábel que fose modular.^[15] Isto entraría en conflito co teorema da modularidade, que afirmaba que todas as curvas elípticas son modulares. Como tal, Frey observou que unha proba da conxectura de Taniyama–Shimura–Weil tamén podería demostrar simultaneamente o último teorema de Fermat.^[16]^[17] Por contraposición, unha refutación do Último teorema de Fermat refutaría a conxectura de Taniyama-Shimura-Weil.

Seguindo esta estratexia, unha proba do último teorema de Fermat requiriu dous pasos. En primeiro lugar, foi necesario probar o teorema da modularidade, ou polo menos demostralo para os tipos de curvas elípticas que incluían a ecuación de Frey (coñecida como curva elíptica semiestábel). En segundo lugar, era necesario demostrar que a intuición de Frey era correcta: que se unha elíptica era construída deste xeito, usando un conxunto de números que eran unha solución da ecuación de Fermat, a curva elíptica resultante non podía ser modular. Frey demostrou que isto era plausible, mais non chegou a dar unha proba completa. A peza que faltaba (a chamada "conxectura epsilon", agora coñecida como teorema de Ribet) foi identificada por Jean-Pierre Serre que tamén deu unha proba case completa e a ligazón suxerida por Frey foi finalmente probada en 1986 por Ken Ribet.^[18]

Seguindo o traballo de Frey, Serre e Ribet, aquí se situaron as cousas:

O último teorema de Fermat debía ser demostrado para todos os expoñentes n que fosen números primos.
O teorema da modularidade (se se demostra para curvas elípticas semiestábeis) significaría que todas as curvas elípticas semiestábeis "deben" ser modulares.
O teorema de Ribet mostrou que calquera solución da ecuación de Fermat para un número primo podería usarse para crear unha curva elíptica semiestábel que non podería ser modular;
O único xeito de que estas dúas afirmacións puidesen ser certas era se non existisen solucións para a ecuación de Fermat (porque entón non se podía crear esa curva), que era o que dicía o Último Teorema de Fermat. Como o teorema de Ribet xa estaba demostrado, isto significaba que unha demostración do teorema da modularidade probaría automaticamente que o último teorema de Fermat tamén era certo.

Demostración xeral de Wiles

Artigos principais: Andrew Wiles e Proba de Wiles do último teorema de Fermat.

A proba de Ribet da conxectura épsilon en 1986 logrou o primeiro dos dous obxectivos propostos por Frey. Ao coñecer o éxito de Ribet, Andrew Wiles, adicouse a realizar a segunda metade: probando un caso especial do Teorema da modularidade (daquela coñecida como conxectura de Taniyama-Shimura) para as curvas elípticas semiestábeis curvas.^[19]^[20]

O seu estudo inicial suxeriu unha proba por indución,^[14]^{:230–232, 249–252} e baseou o seu traballo inicial e o seu primeiro avance significativo na teoría de Galois^[14]^{: 251–253, 259} antes de pasar a un intento de estender a teoría horizontal de Iwasawa ao redor de 1990-91, cando parecía que non había ningún enfoque adecuado para o problema.^[14]^:258–259 Descubriu un Sistema de Euler desenvolvido recentemente por Victor Kolyvagin e Matthias Flach que parecía "feito a medida" para a parte indutiva da súa proba.^[14]^:260–261 Wiles estudou e ampliou este enfoque, que funcionou. Dado que o seu traballo baseouse moito neste enfoque, que era novo para as matemáticas e para Wiles, en xaneiro de 1993 pediu ao seu colega de Princeton, Nick Katz, que lle axudase a comprobar o seu razoamento para detectar erros sutís. A súa conclusión naquel momento foi que as técnicas que utilizaba Wiles parecían funcionar correctamente.^[14]^:261–265^[21]^[22]

Wiles presentou a súa proba da conxectura Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestábeis; xunto coa proba de Ribet da conxectura épsilon, isto implicaba o Último Teorema de Fermat. No entanto, durante a revisión por pares fíxose evidente que un punto crítico da proba era incorrecto. Contiña un erro nun límite na orde dun grupo. O erro foi detectado por varios matemáticos que revisaban o manuscrito de Wiles, incluído Katz (no seu papel de revisor), ^[23] que alertaron a Wiles o 23 de agosto de 1993.^[24]

O erro non faría inútil o seu traballo: cada parte da obra de Wiles era moi significativa e innovadora por si mesma, así como os moitos desenvolvementos e técnicas que creara durante o seu traballo, e só unha parte se viu afectada.^[14].

Máis tarde describiu que a teoría de Iwasawa e o enfoque de Kolyvagin-Flach eran cada un inadecuado por si só, mais que xuntos podían ser o suficientemente poderosos como para superar este obstáculo final.

O 24 de outubro de 1994, Wiles enviou dous manuscritos, "Curvas elípticas modulares e o último teorema de Fermat"^[25]^[26] e "Propiedades teóricas do anel de certas álxebras de Hecke",^[27] o segundo deles foi escrito en colaboración con Taylor e demostrou que se cumprían certas condicións que eran necesarias para xustificar o paso corrixido no artigo principal. Os dous artigos foron revisados e publicados como a totalidade do número de maio de 1995 dos Annals of Mathematics. O método da demostración de identificación dun anel de deformación cunha álxebra de Hecke (agora denominada teorema R=T) para probar teoremas de levantamento de modularidade foi un desenvolvemento influente na teoría alxébrica de números.

Estes traballos estabeleceron o teorema de modularidade para as curvas elípticas semiestábeis, o último paso para demostrar o Último Teorema de Fermat, 358 anos despois de que se conxecturase.

Notas

↑ Singh, pp. 18–20
↑ Nigel Boston. "A proba do último teorema de Fermat" (PDF). p. 5.
↑ Weisstein, Eric W. "Último teorema de Fermat.". MathWorld: un recurso web de Wolfram. Consultado o 7 de maio de 2021.
↑ Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics 141 (3): 448. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. doi:10.2307/2118559. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 10 May 2011. Consultado o 11 agosto 2003. A suxestión de Frey, na notación do seguinte teorema, foi mostrar que a curva elíptica (hipotética) $y 2 = x (x + u p)(x - v p)$ non podía ser modular.
↑ Ribet, Ken (1990). "Sobre representacións modulares de Gal(Q/Q) derivados de formas modulares" (PDF). Inventiones Mathematicae 100 (2): 432. Bibcode:1990InMat.100..431R. MR 1047143. doi:10.1007/BF01231195. hdl:10338.dmlcz/147454.
↑ ^6,0 ^6,1 Laubenbacher R, Pengelley D (2007). "Voici ce que j'ai trouvé: Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 5 April 2013. Consultado o 19 May 2009.
↑ Aczel 1996, p. 57
↑ Aczel & 1996., pp. 84–88
↑ Singh, páxinas 232–234
↑ Faltings G (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007/BF01388432.
↑ Ribenboim P (1979). Springer Verlag, ed. 13 conferencias sobre o último teorema de Fermat. Nova York. p. 202. ISBN 978-0-387-90432-0.
↑ Wagstaff SS Jr. (1978). Sociedade Americana de Matemáticas, ed. "Os primos irregulares ata 125000". Matemáticas da Computación 32 (142): 583–591. JSTOR 2006167. doi:10.2307/2006167. .pdf (PDF) |url=https://web.archive.org/web/20121024112422/http://www.ams.org/journals/mcom/1978-32-142/S0025-5718-1978-0491465-4/S0025-5718 -1978-0491465-4.pdf |data=24 de outubro 2012 }}
↑ Buhler J, Crandell R, Ernvall R, Metsänkylä T (1993). "Primos irregulares e invariantes ciclotómicos a catro million". Mathematics of Computation (American Mathematical Sociedade) 61 (203): 151–153. Bibcode:1993MaCom..61..151B. JSTOR 2152942. doi:10.2307/2152942.
↑ ^14,0 ^14,1 ^14,2 ^14,3 ^14,4 ^14,5 ^14,6 ^14,7 ^14,8 Último Teorema de Fermat, Simon Singh, 1997, ISBN 1-85702-521-0
↑ Frey G (1986). "Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations". Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae. 1: 1–40.
↑ Singh, pp. 194–198
↑ Aczel 1996, pp. 109 –114
↑ Ribet, Ken (1990). "On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms" (PDF). Inventiones Mathematicae 100 (2): 431–476. Bibcode:1990InMat.100..431R. MR 1047143. doi:10.1007/BF01231195. hdl:10338.dmlcz/147454.
↑ Singh, p. 205
↑ Aczel 1996, pp. 117–118
↑ Singh, pp. 239–243
↑ Aczel 1996, pp. 122–125
↑ Aczel 1996, pp. 128–130
↑ Singh. , páx. 257
↑ Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics 141 (3): 443–551. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. doi:10.2307/2118559. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 28 June 2003.
↑ "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF).
↑ Taylor R, Wiles A (1995). "Ring theoretic properties of certain Hecke algebras". Annals of Mathematics 141 (3): 553–572. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. doi:10.2307/2118560. Arquivado dende o orixinal o 27 novembro 2001.

↑ Esta curva elíptica foi suxerida pòr primeira vez nos 1960 por Yves Hellegouarch, mais non prestou atencioón á súa non modularidade. Para máis detalles, ver Hellegouarch, Yves (2001). Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles. Academic Press. ISBN 978-0-12-339251-0.

Véxase tamén

Bibliografía

Singh, S (1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.

Outros artigos

Ligazóns externas

Daney, Charles (2003). "The Mathematics of Fermat's Last Theorem". Arquivado dende o orixinal o 3 agosto 2004. Consultado o 5 agosto 2004.
Elkies, Noam D. "Tables of Fermat "near-misses" – approximate solutions of xⁿ + yⁿ = zⁿ".
Freeman, Larry (2005). "Fermat's Last Theorem Blog". Blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Fermat to Wiles.
"Fermat's last theorem". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Ribet, Kenneth A. (1995). "Galois representations and modular forms". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series 32 (4): 375–402. MR 1322785. arXiv:math/9503219. doi:10.1090/S0273-0979-1995-00616-6. Discusses various material that is related to the proof of Fermat's Last Theorem: elliptic curves, modular forms, Galois representations and their deformations, Frey's construction, and the conjectures of Serre and of Taniyama–Shimura.
Shay, David (2003). "Fermat's Last Theorem". Consultado o 14 xaneiro 2017. The story, the history and the mystery.
Weisstein, Eric W. "Fermat's Last Theorem". MathWorld.
O'Connor JJ, Robertson EF (1996). "Fermat's last theorem". Arquivado dende o orixinal o 4 agosto 2004. Consultado o 5 agosto 2004.
"The Proof". PBS. The title of one edition of the PBS television series NOVA, discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem.
"Documentary Movie on Fermat's Last Theorem (1996)". Simon Singh and John Lynch's film tells the story of Andrew Wiles.

[auto-1] Singh, pp. 18–20

[BostonFLTproof-2] Nigel Boston. "A proba do último teorema de Fermat" (PDF). p. 5.

[3] Weisstein, Eric W. "Último teorema de Fermat.". MathWorld: un recurso web de Wolfram. Consultado o 7 de maio de 2021.

[4] Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics 141 (3): 448. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. doi:10.2307/2118559. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 10 May 2011. Consultado o 11 agosto 2003. A suxestión de Frey, na notación do seguinte teorema, foi mostrar que a curva elíptica (hipotética) $y 2 = x (x + u p)(x - v p)$ non podía ser modular.

[5] Ribet, Ken (1990). "Sobre representacións modulares de Gal(Q/Q) derivados de formas modulares" (PDF). Inventiones Mathematicae 100 (2): 432. Bibcode:1990InMat.100..431R. MR 1047143. doi:10.1007/BF01231195. hdl:10338.dmlcz/147454.

[Laubenbacher_2007-6] 6,0 ^6,1 Laubenbacher R, Pengelley D (2007). "Voici ce que j'ai trouvé: Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 5 April 2013. Consultado o 19 May 2009.

[FOOTNOTEAczel199657-7] Aczel 1996, p. 57

[FOOTNOTEAczel1996.84–88-8] Aczel & 1996., pp. 84–88

[9] Singh, páxinas 232–234

[10] Faltings G (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007/BF01388432.

[11] Ribenboim P (1979). Springer Verlag, ed. 13 conferencias sobre o último teorema de Fermat. Nova York. p. 202. ISBN 978-0-387-90432-0.

[12] Wagstaff SS Jr. (1978). Sociedade Americana de Matemáticas, ed. "Os primos irregulares ata 125000". Matemáticas da Computación 32 (142): 583–591. JSTOR 2006167. doi:10.2307/2006167. .pdf (PDF) |url=https://web.archive.org/web/20121024112422/http://www.ams.org/journals/mcom/1978-32-142/S0025-5718-1978-0491465-4/S0025-5718 -1978-0491465-4.pdf |data=24 de outubro 2012 }}

[:0-13] Buhler J, Crandell R, Ernvall R, Metsänkylä T (1993). "Primos irregulares e invariantes ciclotómicos a catro million". Mathematics of Computation (American Mathematical Sociedade) 61 (203): 151–153. Bibcode:1993MaCom..61..151B. JSTOR 2152942. doi:10.2307/2152942.

[Singh-14] 14,0 ^14,1 ^14,2 ^14,3 ^14,4 ^14,5 ^14,6 ^14,7 ^14,8 Último Teorema de Fermat, Simon Singh, 1997, ISBN 1-85702-521-0

[16] Frey G (1986). "Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations". Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae. 1: 1–40.

[17] Singh, pp. 194–198

[FOOTNOTEAczel1996109_–114-18] Aczel 1996, pp. 109 –114

[ribet90-19] Ribet, Ken (1990). "On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms" (PDF). Inventiones Mathematicae 100 (2): 431–476. Bibcode:1990InMat.100..431R. MR 1047143. doi:10.1007/BF01231195. hdl:10338.dmlcz/147454.

[20] Singh, p. 205

[FOOTNOTEAczel1996117–118-21] Aczel 1996, pp. 117–118

[22] Singh, pp. 239–243

[FOOTNOTEAczel1996122–125-23] Aczel 1996, pp. 122–125

[FOOTNOTEAczel1996128–130-24] Aczel 1996, pp. 128–130

[25] Singh. , páx. 257

[26] Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics 141 (3): 443–551. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. doi:10.2307/2118559. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 28 June 2003.

[27] "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF).

[28] Taylor R, Wiles A (1995). "Ring theoretic properties of certain Hecke algebras". Annals of Mathematics 141 (3): 553–572. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. doi:10.2307/2118560. Arquivado dende o orixinal o 27 novembro 2001.

[15] Esta curva elíptica foi suxerida pòr primeira vez nos 1960 por Yves Hellegouarch, mais non prestou atencioón á súa non modularidade. Para máis detalles, ver Hellegouarch, Yves (2001). Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles. Academic Press. ISBN 978-0-12-339251-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[note 1]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]