Velocidade

A velocidade é unha magnitude física de carácter vectorial que expresa a distancia percorrida por un obxecto na unidade de tempo. Represéntase por $\mathbf {v} \,$ ou ${\vec {v}}\,$ . Na análise dimensional as súas dimensións son [L]/[T].^[1]^[2] A súa unidade no Sistema Internacional de Unidades é o metro por segundo (símbolo, m/s). Tamén é habitual empregar como unidade o km/h (quilómetro/hora).

A velocidade é un vector, é dicir, ten módulo (magnitude), dirección e sentido. A magnitude da velocidade coñécese como celeridade ou rapidez.

En matemática vectorial pódese entender que a velocidade inclúe á dirección do movemento, de modo que dous obxectos movéndose en direccións opostas pero igual velocidade poden ter un vector de velocidade distinto. Ás veces, e nestes contextos, para distinguir esta ambigüidade propóñense os termos rapidez ou celeridade para referirse á magnitude, ou valor absoluto do vector velocidade.^[3] Por exemplo, "5 metros por segundo" é unha velocidade, mentres que "5 metros por segundo ao oeste" tamén é unha velocidade, vectorial. Se ao pasar o tempo a velocidade mídese como "5 metros por segundo ao norte", entón o obxecto ten unha velocidade cambiante, pero unha rapidez constante, e considérase que está a sufrir unha aceleración.

Historia

Aristóteles estudou os fenómenos físicos sen chegar a conceptualizar unha noción de velocidade. En efecto, as súas explicacións (que posteriormente se demostrarían incorrectas) só describían os fenómenos inherentes ao movemento sen usar as matemáticas como ferramenta.

Foi Galileo Galilei quen, estudando o movemento dos corpos nun plano inclinado, formulou o concepto de velocidade. Para iso, fixou un patrón de unidade de tempo, por exemplo 1 segundo, e mediu a distancia percorrida por un corpo en cada unidade de tempo. Desta maneira, Galileo desenvolveu o concepto da velocidade como a distancia percorrida por unidade de tempo. A pesar do gran avance que representou a introdución desta nova noción, os seus alcances limitábanse aos alcances mesmos das matemáticas. Por exemplo, era relativamente sinxelo calcular a velocidade dun móbil que se desprazase a velocidade constante, debido a que en cada unidade de tempo percorre distancias iguais. Tamén o era calcular a velocidade dun móbil con aceleración constante, como é o caso un corpo en caída libre. Con todo, cando a velocidade do obxecto variaba de forma máis complicada, Galileo non dispoñía de ferramentas matemáticas que lle permitisen determinar a velocidade instantánea dun corpo.

Foi recentemente no século XVI, co desenvolvemento do cálculo por parte de Isaac Newton e Gottfried Leibniz, cando se puido solucionar a cuestión de obter a velocidade instantánea dun corpo. Esta está determinada pola derivada do vector de posición do obxecto respecto do tempo.

As aplicacións da velocidade, co uso de cálculo, é unha ferramenta fundamental en física e enxeñería, estendéndose en practicamente todo fenómeno que implique cambios de posición respecto do tempo, isto é, que implique movemento.

Un termo relacionado coa velocidade é o de celeridade. Na linguaxe cotiá emprégase frecuentemente o termo velocidade para referirse á celeridade. En física faise unha distinción entre ambas, xa que a celeridade é unha magnitude escalar que representa o módulo da velocidade. De maneira moi sinxela, se se di que unha partícula móvese cunha velocidade de 10 m/s, está a facerse referencia á súa celeridade; pola contra, se ademais especifícase a dirección en que se move, está a facerse referencia á súa velocidade.

Nocións xerais

Inicialmente, a noción de velocidade baseouse na noción de velocidade media nun intervalo. Co advenimiento do cálculo diferencial introduciuse a noción moderna. Dividir unha distancia entre un tempo parecía tan falso como a suma destes dous valores podería parecer hoxe. Así, para saber se un corpo ía máis rápido que outro, Galileo (1564-1642) comparou a relación das distancias percorridas por estes corpos coa relación dos tempos correspondentes. Por iso aplicou a seguinte equivalencia:

{\frac {s_{1}}{s_{2}}}\leq {\frac {t_{1}}{t_{2}}}\Leftrightarrow {\frac {s_{1}}{t_{1}}}\leq {\frac {s_{2}}{t_{2}}}

A noción de velocidade instantánea foi definida formalmente por primeira vez por Pierre Varignon (1654-1722) o 5 de xullo de 1698, como a relación dunha lonxitude infinitamente pequena dx respecto a un tempo infinitamente pequeno dt emprendido no recoñecemento desta lonxitude. Por iso, serve o formalismo do círculo diferencial que foi exposto no punto, catorce anos antes de Leibniz. (1646-1716).

Velocidade constante vs. aceleración

Para ter unha velocidade constante, un obxecto debe ter unha velocidade constante nunha dirección constante. A dirección constante obriga ao obxecto para moverse nunha traxectoria recta, polo que unha velocidade constante significa un movemento en liña recta a unha velocidade constante.

Por exemplo, un coche que se move a unha velocidade constante de 20 quilómetros por hora nunha traxectoria circular ten unha velocidade angular constante, pero non ten unha velocidade constante porque a súa dirección cambia. Por tanto, considérase que o coche está a sufrir unha aceleración.

Diferenza entre velocidade e celeridade

Véxase tamén: Celeridade.

Cantidades cinemáticas dunha partícula clásica: masa m, posición r, velocidade v, aceleración a

A celeridade (ou rapidez) é o módulo do vector de velocidade, denota unicamente a celeridade coa que se move un obxecto.^[4]^[5]

Ecuación do movemento

Artigo principal: Ecuación do movemento.

Velocidade media

A velocidade defínese como a taxa de cambio na posición dun obxecto con respecto ao tempo, que tamén pode denominarse velocidade instantánea para salientar a distinción coa velocidade media. Nalgunhas aplicacións pode ser necesaria a velocidade media dun obxecto, é dicir, a velocidade constante que proporcionaría o mesmo desprazamento resultante dunha velocidade variable no mesmo intervalo de tempo, $v (t)$ , durante algún período de tempo $Δ t$ . Calcúlase dividindo o vector desprazamento (Δr) entre o escalar tempo (Δt) empregado en efectualo:

{\boldsymbol {\bar {v}}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}.

Segundo esta definición, a velocidade media é unha magnitude vectorial, xa que é o resultado de dividir un vector entre un escalar.

Por outra banda, se se considera a distancia percorrida sobre a traxectoria durante un intervalo de tempo dado, tense a velocidade media sobre a traxectoria, que é unha magnitude escalar. A expresión anterior escríbese da forma:

${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

A velocidade media é sempre menor ou igual que a velocidade media dun obxecto. Isto pódese ver ao darse conta de que mentres que a distancia é sempre estritamente crecente, o desprazamento pode aumentar ou diminuír en magnitude, así como cambiar de dirección.

En termos dunha gráfica desprazamento-tempo (x vs. t), a velocidade instantánea (ou, simplemente, velocidade) pode considerarse como a pendente da recta tanxente á curva en calquera punto, e a velocidade media como a pendente da recta secante entre dous puntos con coordenadas t iguais aos límites do período de tempo para a velocidade media.

O módulo do vector velocidade media, en xeral, é diferente ao valor da velocidade media sobre a traxectoria. Só serán iguais se a traxectoria é rectilínea e se o móbil só avanza nun ou noutro sentido, sen retroceder.

A velocidade media é a mesma que a velocidade media ao longo do tempo, é dicir, a súa media ponderada no tempo, que se pode calcular como a integral temporal da velocidade:

{\boldsymbol {\bar {v}}}={1 \over t_{1}-t_{0}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {v}}(t)\ dt,

onde podemos identificar

\Delta {\boldsymbol {x}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {v}}(t)\ dt

e

\Delta t=t_{1}-t_{0}.

Velocidade instantánea

A velocidade instantánea é un vector tanxente á traxectoria e correspóndese coa derivada do vector posición con respecto ao tempo. Permite coñecer a velocidade dun móbil que se despraza sobre unha traxectoria cando o intervalo de tempo é infinitamente pequeno, sendo entón o espazo percorrido tamén moi pequeno, representando un punto da traxectoria:

Se consideramos $v$ como a velocidade e $x$ como o vector de desprazamento (cambio de posición), entón podemos expresar a velocidade (instantánea) dunha partícula ou obxecto, en calquera momento particular $t$ , como a derivada da posición con respecto ao tempo:

$\mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {d{\mathbf {r} }}{dt}}$

A partir desta ecuación derivada, no caso unidimensional pode verse que a área baixa unha gráfica de velocidade vs. tempo ( $v$ vs. $t$ ) é o desprazamento, $x$ . En termos de cálculo, a integral da función de velocidade $v (t)$ é a función de desprazamento $x (t)$ . Na figura, isto corresponde ao área amarela baixo a curva etiquetada $s$ ( $s$ é unha notación alternativa para desprazamento).

{\boldsymbol {x}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt.

En forma vectorial, a velocidade é a derivada do vector posición respecto ao tempo:

$\mathbf {v} ={\frac {ds}{dt}}\ \mathbf {u} _{t}={\frac {d{\mathbf {r} }}{dt}}$

onde $\mathbf {u} _{t}$ é un vector (vector de módulo unidade) de dirección tanxente á traxectoria do corpo en cuestión e $\mathbf {r}$ é o vector posición, xa que no límite os diferenciais de espazo percorrido e posición coinciden.

Como a derivada da posición con respecto ao tempo dá o cambio de posición (en metros) dividido polo cambio de tempo (en segundos), a velocidade mídese en metros por segundo (m/s). Aínda que o concepto de velocidade instantánea poida parecer contraditorio a primeira vista, pode considerarse como a velocidade á que o obxecto continuaría desprazándose se deixase de acelerar nese momento.

Relación coa aceleración

Aínda que a velocidade defínese como a taxa de cambio de posición, a miúdo é común comezar cunha expresión para a aceleración dun obxecto. Como se ve polas tres liñas tanxentes verdes na figura, a aceleración instantánea dun obxecto nun punto no tempo é a pendente da liña tanxente á curva dunha gráfica $v (t)$ nese punto. Noutras palabras, a aceleración defínese como a derivada da velocidade con respecto ao tempo:

{\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}.

A partir de aí, podemos obter unha expresión para a velocidade como a área baixa unha $a (t)$ gráfica de aceleración fronte a tempo. Como no caso anterior, isto faise utilizando o concepto de integral:

{\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt.

Aceleración constante

No caso especial de aceleración constante, a velocidade pódese estudar usando as ecuacións do movemento. Considerando que a é igual a algún vector arbitrario constante, é insignificante mostrar que

{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t

con $v$ como a velocidade no tiempo $t$ e $u$ como a velocidade no momento $t = 0$ . Ao combinar esta ecuación coa ecuación do movemento $x = u t + a t 2 /2$ , é posible relacionar o desprazamento e a velocidade media mediante

{\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}t={\boldsymbol {\bar {v}}}t.

Tamén é posible derivar unha expresión para a velocidade independente do tempo, coñecida como ecuación de Torricelli, da seguinte maneira:

v^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)\cdot ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)=u^{2}+2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}

(2{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {x}}=(2{\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {u}}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2})=2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}=v^{2}-u^{2}

\therefore v^{2}=u^{2}+2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}})

onde $v = | v |$ etc.

As ecuacións anteriores son válidas tanto para a mecánica newtoniana como para a relatividade especial. No que difiren a mecánica newtoniana e a relatividade especial é en como diferentes observadores describirían a mesma situación. En particular, na mecánica newtoniana, todos os observadores están de acordo no valor de t e as regras de transformación para a posición crean unha situación na que todos os observadores non aceleradores describirían a aceleración dun obxecto cos mesmos valores. Ningunha das dúas cousas é certa na relatividade especial. Noutras palabras, só se pode calcular a velocidade relativa.

Cantidades que dependen da velocidade

A enerxía cinética dun obxecto en movemento depende da súa velocidade e vén dada pola ecuación

E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}

ignorando a relatividade especial, onde E_k é a enerxía cinética e m é a masa. A enerxía cinética é unha magnitude escalar xa que depende do cadrado da velocidade, no entanto, unha cantidade relacionada, momento, é un vector e está definida por

{\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}

Na relatividade especial, o factor de Lorentz adimensional aparece con frecuencia, e vén dado por

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

onde γ é o factor de Lorentz e c é a velocidade da luz.

A velocidade de escape é a velocidade mínima que necesita un obxecto balístico para escapar dun corpo masivo como a Terra. Representa a enerxía cinética que, sumada á enerxía potencial gravitatoria do obxecto (que sempre é negativa), é igual a cero. A fórmula xeral para a velocidade de escape dun obxecto a unha distancia r do centro dun planeta con masa M é

v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},

onde G é a constante gravitatoria e g é a aceleración gravitatoria. A velocidade de escape desde a superficie da Terra é duns 11 200 m/s, e é independente da dirección do obxecto. Isto fai que "velocidade de escape" sexa en certo xeito un termo equivocado, xa que o termo máis correcto sería "velocidade de celeridade": calquera obxecto que alcance unha velocidade desa magnitude, independentemente da atmosfera, abandonará as proximidades do corpo basee sempre que non se cruce con algo na súa traxectoria.

Velocidade en mecánica relativista

En mecánica relativista pode definirse a velocidade de maneira análoga a como se fai en mecánica clásica mais a velocidade así definida non ten as mesmas propiedades que a súa análoga clásica:

En primeiro lugar a velocidade convencional medida por diferentes observadores, mesmo inerciais non ten unha lei de transformación sinxela (de feito a velocidade non é ampliable a un cuadrivector de forma trivial).
En segundo lugar, o momento linear e a velocidade en mecánica relativista non son proporcionais e por esa razón considérase conveniente nos cálculos substituír a velocidade convencional pola cuadrivelocidade, na que as súas compoñentes espaciais coinciden coa velocidade para velocidades pequenas comparadas coa luz, sendo as súas compoñentes no caso xeral:

(11)
$U^{i}={\frac {v_{i}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad i\in \{1,2,3\},\qquad \qquad U^{0}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Ademais esta cuadrivelocidade ten propiedades de transformación adecuadamente covariantes e é proporcional ao cuadrimomento linear.

En mecánica relativista a velocidade relativa non é aditiva. Isto significa que se se consideran dous observadores A e B que se moven sobre unha mesma recta a velocidades diferentes $v_{\text{AO}},v_{\text{BO}}\,$ , respecto dun terceiro observador O, sucede que:

(12)
$v_{\text{BO}}\neq v_{\text{BA}}+v_{\text{AO}}\qquad v_{\text{AO}}\neq v_{\text{AB}}+v_{\text{BO}}$

sendo a velocidade $v_{\text{BA}}$ de B medida por A e $v_{\text{AB}}$ a velocidade de A medida por B. Isto sucede porque tanto a medida de velocidades como o transcurso do tempo depende da velocidade dun sistema en relación á velocidade da luz. Cando se ten isto en conta resulta que o cálculo de velocidades relativas non é aditiva. A diferenza do que ocorre na mecánica clásica, onde o paso do tempo é idéntico para todos os observadores con independencia do seu estado de movemento. Outra forma de velo é a seguinte: se as velocidades relativas fosen simplemente aditivas en relatividade chegaríase a contradicións; considérese un obxecto pequeno que se move respecto a outro maior a unha velocidade superior á metade da luz e considérese que esoutro obxecto maior se movese a máis velocidade cá luz respecto dun observador fixo. A aditividade implicaría que o obxecto pequeno se movería a unha velocidade superior á da luz respecto do observador fixo, o cal non é posible porque todos os obxectos materiais teñen velocidades inferiores á da luz. Con todo, aínda que as velocidades non son aditivas en relatividade, para velocidades pequenas comparadas coa velocidade da luz as desigualdades cúmprense de modo aproximado, é dicir:

(13) $v_{\text{B}}\approx v_{\text{BA}}+v_{\text{A}}\qquad v_{\text{A}}\approx v_{\text{AB}}+v_{\text{B}}$

sendo inadecuada esta aproximación para valores das velocidades non desprezábeis fronte á velocidade da luz.

Velocidade en mecánica cuántica

En mecánica cuántica non relativista o estado dunha partícula descríbese mediante unha función de onda $\psi (x)\,$ que satisfai a ecuación de Schrödinger. A velocidade de propagación media da partícula vén dada pola expresión:

(14)
$\mathbf {v} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {{\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{*}}{\psi ^{*}}}-{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}\psi }{\psi }}\right)$

Obviamente a velocidade só será diferente de cero cando a función de onda é complexa, sendo identicamente nula a velocidade dos estados ligados estacionarios, cuxa función de onda é real. Isto último débese a que os estados estacionarios representan estados que non varían co tempo e polo tanto non se propagan.

En mecánica cuántica relativista postúlase que por exemplo un electrón podería ter xunto cunha velocidade media macroscópica (medida entre dous instantes diferentes) un movemento de axitación ou oscilación moi rápido adicional coñecido como Zitterbewegung; de acordo con esa interpretación adicional non existe unha relación entre o momento da partícula e a velocidade asignábel a ese movemento.

Unidades

As unidades máis habituais para medir a velocidade son:

Sistema Internacional de Unidades (SI)

Metro por segundo (m/s), unidade de velocidade no SI (1 m/s = 3,6 km/h)
Quilómetro por hora (km/h) , habitual nos medios de transporte^[6]
Quilómetro por segundo (km/s), empregada por exemplo para a velocidade de escape

Sistema Ceguesimal de Unidades (CGS)

Centímetro por segundo (cm/s)

Sistema Anglosaxón de Unidades

Pé por segundo (ft/s), unidade de velocidade do sistema inglés
Milla por hora (mph ou MPH), uso habitual para automóbiles en Gran Bretaña ou nos Estados Unidos
Milla por segundo (mps), uso coloquial

Navegación marítima e aérea

O nó é unha unidade de medida de velocidade empregada en navegación e equivalente a unha milla náutica por hora

Aeronáutica

O número Mach é unha medida de velocidade relativa que se define como o cociente entre a velocidade dun obxecto e a velocidade do son no medio en que se move ese obxecto. É un número adimensional tipicamente usado para describir a velocidade dos avións. Mach 1 equivale á velocidade do son, Mach 2 é dúas veces esa velocidade e así sucesivamente. A velocidade do son no aire é de 340 m/s (1224 km/h).

Unidades de Planck (Unidades naturais)

O valor da velocidade da luz no baleiro (c) = 299 792 458 m/s (aproximadamente 300 000 km/s)

A seguinte táboa resume tódolos valores para converter as principais unidades de velocidade:

	km/s	m/s	mph	km/h
para obter km/s multiplicar por	1	0,001	0,00044704	0,00027778
para obter m/s multiplicar por	1000	1	0,44704	0,27778
para obter mph multiplicar por	2236,9	2,2369	1	0,62137
para obter km/h multiplicar por	3600	3,6	1,609344	1

Notas

↑ Resnick, 1996, pp. 10 y 11.
↑ Resnick, 1996, pp. 17-23.
↑ Wikilibros (16 de febreiro de 2015). "Física/Cinemática/Velocidad - Wikilibros". Consultado o 15 de marzo do 2023.
↑ Rowland, Todd (2019). "Velocity Vector" (en castelán). Wolfram MathWorld. Consultado o 15 de marzo do 2023.
↑ Wilson, Edwin Bidwell (1901). Análisis vectorial: un libro de texto para uso de los estudiantes de matemáticas y física, basado en las conferencias de J. Willard Gibbs. p. 125. É a primeira vez que se utiliza a terminoloxía da velocidade/velocidade.
↑ Empregada, por exemplo, nos sinais de tráfico.

Véxase tamén

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

[1] Resnick, 1996, pp. 10 y 11.

[2] Resnick, 1996, pp. 17-23.

[3] Wikilibros (16 de febreiro de 2015). "Física/Cinemática/Velocidad - Wikilibros". Consultado o 15 de marzo do 2023.

[Wolf2019-4] Rowland, Todd (2019). "Velocity Vector" (en castelán). Wolfram MathWorld. Consultado o 15 de marzo do 2023.

[Bidwell1901-5] Wilson, Edwin Bidwell (1901). Análisis vectorial: un libro de texto para uso de los estudiantes de matemáticas y física, basado en las conferencias de J. Willard Gibbs. p. 125. É a primeira vez que se utiliza a terminoloxía da velocidade/velocidade.

[6] Empregada, por exemplo, nos sinais de tráfico.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]