Aller au contenu

Matrice de Vandermonde

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom du mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde.

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

Autrement dit, pour tous i et j, le coefficient en ligne i et colonne j est

Remarque.
Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus[1].

Inversibilité

[modifier | modifier le code]

On considère une matrice V de Vandermonde carrée (). Elle est inversible si et seulement si les sont deux à deux distincts.

Déterminant

[modifier | modifier le code]

Le déterminant d'une matrice de Vandermonde ( dans ce cas) peut s'exprimer ainsi[3],[4]

.

Applications

[modifier | modifier le code]

La matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale[5].

Un cas particulier de matrice de Vandermonde apparaît dans la formule de la transformée de Fourier discrète, où les coefficients sont des racines complexes de l'unité[6].

Notes et références

[modifier | modifier le code]
  1. N. Macon et A. Spitzbart, « Inverses of Vandermonde Matrices », The American Mathematical Monthly, vol. 65, no 2,‎ , p. 95–100 (DOI 10.2307/2308881, JSTOR 2308881)
  2. a et b Pour une preuve moins conceptuelle, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  3. Cette forme factorisée est utilisée par exemple dans l'épreuve de mathématiques de l'agrégation externe 2006, partie I.10.
  4. Mohamed Houimdi, Algèbre linéaire, algèbre bilinéaire: cours et exercices corrigés, Edition Marketing Ellipses, , 551 p., p. 185-186
  5. Jean-Philippe Chancelier, « Interpolation et approximation polynomiale: Réponses » Accès libre, sur CERMICS, (consulté le )
  6. (en) Gene H Golub, Charles F Van Loan, Matrix computations, jhu press, 722 p. (ISBN 0801837723), p. 183

Bibliographie

[modifier | modifier le code]
  • Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : algèbre, m.p. - spéciales m',m, Dunod, Paris, 1971 ; pages 316 à 319.
  • Daniel Guinin, François Aubonnet et Bernard Joppin, Précis de mathématiques, Tome 2, Algèbre 2, 3e édition, Bréal, 1994 ; pages 19 et 20.

Articles connexes

[modifier | modifier le code]

Lien externe

[modifier | modifier le code]