Erkki Ryömä valmistui agrologiksiKurkijoen maamiesopistosta vuonna 1932. Edustajatoimensa ohella Ryömä työskenteli maanviljelijänä Kokemäellä 1933–1975 ja lukuisissa luottamustoimissa, muun muassa Kokemäen kunnanvaltuuston puheenjohtajana. Erkki Ryömä oli Suomen poliittisessa historiassa varsin vahvasti vaikuttaneen Ryömän suvun jäsen – suvun, joka on tuottanut kansanedustajia sekä sosiaalidemokraatteihin, kansandemokraatteihin että Keskustaan.
Sotilasarvoltaan Ryömä oli luutnantti, ja hän osallistui sekä talvisotaan että jatkosotaan. Hän sai kunnallisneuvoksen arvonimen vuonna 1957.
Erkki Ryömän setä oli lääkäri, poliitikko ja pääjohtaja Hannes Ryömä ja hänen serkkunsa oli lääkäri ja kansanedustaja Mauri Ryömä.