همانی جمع

در ریاضیات همانی جمع (به انگلیسی: Addition identity) یک مجموعه که عملگر جمع برای آن تعریف شده، عضوی است که اگر به هر عضو x از مجموعه اضافه شود، x نتیجه می‌دهد. یکی از آشناترین همانی‌های جمع در ریاضیات ابتدایی (به انگلیسی: Elementary Mathematics) عدد صفر است، اما همانی‌های جمع در دیگر ساختارهای ریاضی که جمع تعریف شده (مانند گروه‌ها و حلقه‌ها) وجود دارند.

نمونه‌های ابتدایی

• همانی جمع آشنا از ریاضیات ابتدایی صفر است. مثلاً:

$5+0=5=0+5$

• در اعداد طبیعی($\mathbb {N}$) و همه مجموعه‌هایی که اعداد طبیعی زیر مجموعه آن‌ها است(اعداد صحیح($\mathbb {Z}$)، کسری یا گویا($\mathbb {Q}$)، حقیقی($\mathbb {Q}$) و مختلط($\mathbb {C}$))، همانی جمع ۰ است. در نتیجه برای هر n از این اعداد داریم:

$n+0=n=0+n$

تعریف رسمی

اگر N مجموعه‌ای باشد که نسبت به عمل جمع بسته‌است، یک همانی جمع برای N هر عضو e است که برای هر عضو n در N داشته باشیم:

$n+e=n=e+n$

مثال: $n+0=n=0+n$

مثال‌های بیشتر

• در یک گروه جمع همانی، عنصر همانی گروه است و اغلب با صفر نشان داده می‌شود و یکتاست.
• یک حلقه یا میدان،یک گروه تحت عمل جمع است و در نتیجه یک همانی جمع یکتا ۰ دارد.این تعریف شده تا از همانی ضرب(۱) در صورتی که حلقه یا میدان بیشتر از ۱ عضو دارد،متفاوت باشد.
• در چهارگان‌ها، ۰ همانی جمع است.
• در حلقه‌ی توابع از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی، تابعی که هر عدد را به صفر مرتبط می‌کند همانی جمع است.
• در گروه جابجایی‌پذیر یا آبلی از بردارها در Rⁿ، مرکز یا بردار صفر همانی جمع است.

اثبات‌ها

همانی جمع در یک گروه یکتاست

اگر (G,+) یک گروه باشد و 0 و 0' هردو در G همانی جمع باشند،به ازای هر g در G داریم:

$0+g=g=g+0,0'+g=g=g+0'$

و:

$(0')=(0')+0=0'+(0)=(0)$

که نتیجه میدهد این دو همانی جمع باهم برابرند و تنها یک همانی جمع داریم.

جستارهای وابسته

• ۰ (عدد)
• عنصر همانی
• همانی ضرب
• همانی (ریاضیات)