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Identidade aditiva

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Em matemática, a identidade aditiva de um conjunto que está equipado com a operação de adição é um elemento que quando adicionado a qualquer elemento do conjunto, resulta em [1] Uma das mais conhecidas identidades aditivas é o número 0, mas identidades aditivas ocorrem em outras estruturas matemáticas onde a adição é definida, como em grupos e anéis.

Exemplos elementares

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  • A identidade aditiva familiar da matemática elementar é o zero, denotado por 0. Por exemplo,
  • Nos números naturais  e em todos os seus superconjuntos (os números inteiros  os números racionais   os números reais  e os números complexos ), a identidade aditiva é 0. Assim, para qualquer número pertencente a um desses conjuntos vale:

Definição formal

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Seja  um conjunto fechado sob a operação de adição, denotada . Um aditivo de identidade para é qualquer elemento tal que, para qualquer elemento em

  • Em um grupo a identidade aditiva é o elemento identidade do grupo, que é usualmente denotado como e é único.[nota 1]
  • Um anel ou corpo é um grupo sob a operação de adição e portanto também têm uma identidade aditiva única Este é definido como sendo diferente da identidade multiplicativa se o anel (ou corpo) tem mais de um elemento. Se as identidades aditiva e multiplicativa são idênticas, então o anel é trivial.[nota 2]
  • Em um sistema com operação de multiplicação que distribui sobre a adição, a identidade aditiva é um elemento absorvente multiplicativo, significando que para qualquer em [nota 3]

Referências

  1. Kelley, W. M. (2013). O Guia Completo para Quem Não É C.D.F Álgebra. Rio de Janeiro: Alta Books. p. 15 

Provas

  1. Seja um grupo fechado sob a operação de adição e sejam ambos identidades aditivas. Então para qualquer e Segue diretamente do exposto acima que
  2. Seja um anel e suponha que a identidade aditiva e a identidade multiplicativa são iguais, ou seja, Seja qualquer elemento de Então: provando que é trivial, isto é, O contrapositivo, que se é não-trivial então é diferente de deriva diretamente dessa prova.
  3. Seja um sistema com operação de multiplicação distribuída sobre a adição. Seja e seja a identidade aditiva de Então: