از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
در الکترومغناطیس ٬ معادلات جفیمنکو ( نام‌گذاری شده پس از الگ جفیمنکو ) معادلاتی هستند که میدان‌های الکتریکی و میدان‌های مغناطیسی را برحسب توزیع بار الکتریکی و جریان الکتریکی زمان‌های تاخیری بیان می‌کنند.
معادلات جفیمنکو [ ۱]
[ ویرایش ] بردارهای مکان r و r′ استفاده شده در محاسبات. این معادلات ٬ میدان الکتریکی و مغناطیسی را در زمان و مکان درفضا بر حسب توزیع‌های چشمه می‌دهند:[ ۲]
E
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
[
(
ρ
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
3
+
1
|
r
−
r
′
|
2
c
∂
ρ
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
)
(
r
−
r
′
)
−
1
|
r
−
r
′
|
c
2
∂
J
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
]
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
B
(
r
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
[
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
3
+
1
|
r
−
r
′
|
2
c
∂
J
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
]
×
(
r
−
r
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
که r' مکان توزیع بار و r نقطه مورد نظر برای میدان است و نیز :
t
r
=
t
−
|
r
−
r
′
|
c
{\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
زمان تاخیریافته را نشان می‌دهد.
[ ویرایش ] با استفاده از روابط زیر که پتانسیل‌های تاخیری هستند ٬ می‌توان معادلات جفیمنکو را به‌دست آورد:[ ۲]
φ
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
ρ
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
A
(
r
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\&\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}}
که پاسخ معادلات ماکسول در فرم پتانسیلی هستند.سپس یا جای‌گذاری در پتانسیل‌های الکترومغناطیسی
−
E
=
∇
φ
+
∂
A
∂
t
,
B
=
∇
×
A
{\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
و با استفاده از رابطه‌ی
c
2
=
1
ϵ
0
μ
0
{\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}}
معادلات جفیمنکو به دست می‌آیند.
↑ اولگ دی جفیمنکو , Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields , Appleton-Century-Crofts (New-York - 1966). 2nd ed.: Electret Scientific (Star City - 1989), ISBN 978-0-917406-08-9 . See also: David J. Griffiths, Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot-Savart and Coulomb laws , American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111-117.↑ ۲٫۰ ۲٫۱ Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
![{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded973cf1f5fcdeb3f500d9a02cec9ba707c997f)
![{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b1cbd8fb6960a8d1564d5c52a8c3bfcee2dfd9)
