Monoid

See artikkel räägib universaalalgebrast; monoidi üldistuse kohta kategooriate teoorias vaata artiklit Monoid (kategooriate teooria)

---

Monoidiks nimetatakse matemaatikas tavaliselt ühe assotsiatiivse binaarse tehtega universaalalgebrat, milles leidub ühikelement.

Monoidi võib veel iseloomustada

• hulgana, millel on defineeritud assotsiatiivne binaarne algebraline tehe nii, et selles hulgas leidub ühikelement
• assotsiatiivse rühmoidina, milles leidub ühikelement
• poolrühmana, milles leidub ühikelement.

Monoid rahuldab kõiki rühma aksioome peale pöördelementide olemasolu. Seetõttu võib öelda, et rühm on pöördelementidega monoid.

Kui monoidi tehe on kommutatiivne, siis on tegu kommutatiivse monoidi ehk Abeli monoidiga.

Formaalne definitsioon

Monoid on hulk M, millel on defineeritud binaarne algebraline tehe * M × M → M, mille puhul on täidetud järgmised tingimused:

• assotsiatiivsus: mis tahes a, b ja c korral hulgast M kehtib võrdus (a*b)*c = a*(b*c)
• ühikelemendi olemasolu: hulgas M leidub niisugune element e, et hulga M mis tahes elemendi a korral kehtib võrdus a*e = e*a = a.

Kui definitsioonis on binaarse algebralise tehte asemel mainitud lihtsalt binaarset tehet, siis tuleb lisada veel üks tingimus:

• kinnisus: mis tahes a ja b korral hulgast M on a*b hulga M element.

Näited

• Igal ühe elemendiga hulgal {x} saab defineerida ühe elemendiga (triviaalse) monoidi. Iga x korral leidub ainult üks niisugune monoid, sest monoidi tehte saab defineerida ainult võrdusega x*x = x. Teiselt poolt, ühe elemendiga monoid eksisteerib iga x puhul, sest ülaltoodud võrduse puhul osutub x ühikelemendiks.
• Iga rühm on monoid ja iga Abeli rühm on kommutatiivne monoid.
• Iga poolvõre on idempotentne kommutatiivne monoid.
• Igast poolrühmast S saab konstrueerida monoidi, lisades sellele elemendi e, mis ei kuulu hulka S, ning defineerides tehted elemendiga e järgmiselt: ee = e ja mis tahes s ∈ S korral es = s = se . Seda konstruktsiooni saab rakendada ka monoidile, nii et saadakse uus monoid uue ühikelemendiga.
• Naturaalarvude hulka võib vaadelda kommutatiivse monoidina nii liitmise suhtes (ühikelemendiks on 0) kui ka korrutamise suhtes (ühikelemendiks on 1).
• Ühikelemendiga ring on monoid nii liitmise kui ka korrutamise suhtes.
  • Täisarvude hulka, ratsionaalarvude hulka, reaalarvude hulka ja kompleksarvude hulka saab vaadelda monoidina nii liitmise kui ka korrutamise suhtes.
  • Kõikide n×n-maatriksite hulk üle antud ringi on nii maatriksite liitmise kui ka maatriksite korrutamise suhtes monoid.
• Kõikide lõplike stringide hulk antud tähestikus Σ moodustab monoidi stringide kontanetatsiooni suhtes. Ühikelemendiks on tühi string. Seda monoidi tähistatakse Σ^* ning nimetatakse vabaks monoidiks üle Σ.
• Olgu antud monoid M. Vaatleme selle potentshulka P(M), mis koosneb hulga M kõikidest alamhulkadest. Potentshulgal saab defineerida binaarse algebralise tehte järgmiselt: S * T = {s*t: s∈S ja t∈T}. Sel juhul saame monoidi, mille ühikelement on {e}. Samal moel osutub monoidiks rühma G potentshulk, millel tehteks on alamhulkade korrutamine.
• Olgu S mingi hulk. Kõikide funktsioonide S→S hulk moodustab monoidi funktsioonide korrutamise suhtes. Ühikelemendiks on samasusfunktsioon. Kui S on n-elemendiline lõplik hulk, siis funktsioonide monoid hulgal S on nⁿ-elemendiline lõplik hulk.
• Seda näidet saab üldistada kategooriate teoorias. Olgu C mingi kategooria ja X mingi objekt kategoorias C. Objekti X kõikide endomorfismide hulk End_C(X) moodustab monoidi morfismide korrutamise suhtes.

Omadused

Ühikelemendi ainsus

Monoidi definitsioonist järeldub, et tal on üksainus ühikelement. Tõepoolest, oletame, et monoidil M on ühikelemendid e ja i. Siis e*i=e, sest i on ühikelement, ja e*i=i, sest e on ühikelement. Järelikult e=i, seega ühikelemendid langevad kokku.

Pööratavad elemendid

Monoidi elementi x nimetatakse pööratavaks, kui on olemas niisugune element y, et x*y=e ja y*x = e. Sel juhul nimetatakse elementi y elemendi x pöördelemendiks.

Elemendil x saab olla ainult üks pöördelement. Tõepoolest, oletame, et x ja z on elemendi x pöördelemendid. Sel juhul tehte assotsiatiivsuse tõttu

z=z*e=z*(x*y)=

=(z*x)*y=e*y,

seega z=y, nii et elemendi x pöördelemendid langevad kokku. Seetõttu tähistatakse pööratava elemendi x (ainsat) pöördelementi ka x⁻¹.

Monoidi M kõikide pööratavate elementide hulk tehtega * moodustab rühma. Selles mõttes sisaldub igas monoidis rühm.

Taandatavusomadusega monoidid

Iga monoid ei ole isomorfne mingi rühma alammonoidiga. Monoidis võivad leiduda kaks elementi a ja b nii, et a*b=a, kuigi b ei ole ühikelement. Selline monoid ei ole isomorfne mõne rühma alammonoidiga, sest rühmas saaks korrutada ülaltoodud võrduse mõlemad pooled vasakult elemendi a pöördelemendiga ning tuleks välja, et b=e, mis aga kõnealusel juhul pole tõsi.

Monoidil (M,*) on taandatavusomadus, kui mis tahes a, b ja c puhul hulgast M järeldub sellest, et a*b=a*c, et b=c ning sellest, et b*a=c*a, järeldub, et b=c.

Taandatavusomadusega kommutatiivne monoid on isomorfne mõne rühma alammonoidiga. Nii näiteks on naturaalarvude monoid liitmise suhtes alammonoid täisarvude rühmas liitmise suhtes. Kui taandatavusomadusega monoid ei ole kommutatiivne, siis ta ei pruugi olla isomorfne mõne rühma alammonoidiga.

Taandatavusomadusega lõplik monoid on isomorfne mõne rühmaga.

Pöördmonoid

Pöördmonoid on monoid M, milles mis tahes elemendi a jaoks leidub üks ja ainult üks a⁻¹∈M nii, et a=a*a⁻¹*a ja a⁻¹=a⁻¹*a*a⁻¹.

Alammonoidid

Monoidi M alammonoid N on hulga M alamhulk N, mis sisaldab ühikelementi ning mille mis tahes elementide korrutis on hulga N element. Hulk N moodustab siis ise monoidi, mille tehe on saadud monoidi M tehte kitsendamisel hulgale N.

Monoidide homomorfismid

Homomorfism monoidide (M, *) ja (M′, @) vahel on funktsioon f: M→M′, mille korral

• hulga M mis tahes elementide x ja y korral M'f(x*y) = f(x)@f(y)

• ja f(e) = e′,

kus e ja e′ on vastavalt monoidi M ja monoidi M′ ühikelement.

Monoidide kui rühmoidide homomorfism ei puugi olla monoidide homomorfism, sest ta ei pruugi säilitada ühikelementi. Olukord on seega teistsugune kui rühmade puhul: rühmade kui rühmoidide homomorfism on alati rühmade homomorfism.

Kui monoidide homomorfism on bijektiivne, siis teda nimetatakse monoidide isomorfismiks. Kui kahe monoidi vahel on olemas isomorfism, siis neid monoide nimetatakse isomorfseteks.

Seos kategooriateooriaga

Monoide võib vaadelda kategooriate erijuhuna. Tõepoolest, monoidi tehte aksioomid on täpselt samad mis morfismide korrutamisel, kui tegemist on objekti morfismidega iseendale.

Monoidi võib seega vaadelda üheainsa objektiga kategooriana: kui on antud monoid (M,*), siis saab konstrueerida üheainsa objektiga väikese kategooria, mille morfismid on monoidi M elemendid. Morfismide korrutamine on antud monoidi tehtega *.

Monoidide homomorfisme võib selles konstruktsioonis vaadelda funktoritena üheelemendiliste kategooriate vahel.

Nõnda võib kategooriaid vaadelda monoidide üldistusena. Paljusid monoidide teooria derfinitsioone ja teoreeme saab üldistada mitme objektiga väikestele kategooriatele.

Monoidide kategooria

Monoidid moodustavad monoidide kategooria Mon, mille objektid on monoidid ja mille morfismid on monoidide homomorfismid.

Monoidobjekt kategooriateoorias

Monoide saab kategooriateoorias abstraktselt defineerida monoidobjektidena.