Kvinlatero

En geometrio, kvinlatero (aŭ pentagono) estas ĉiu plurlatero kun 5 lateroj. En naturo, kvinlatero estas belaspekta ornamaĵo. Kvinlatero povas esti simpla aŭ sin sekcanta. La sumo de enaj anguloj de simpla kvinlatero estas 540°.

Regula kvinlatero
Simbolo de Schläfli	{5}
Figuro de Coxeter-Dynkin
Verticoj	5
Lateroj	5
Geometria simetria grupo	Duedra (D5)
Areo	${\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}$ $\approx 1.720477401t^{2}.$ (t estas la latera longo)
Ena angulo	108°

Regulaj kvinlateroj

Regula kvinlatero estas kvinlatero kiu estas regula plurlatero.

Estas du diversaj regulaj kvinlateroj

• Simpla, konveksa
• Sin sekcanta kvinpinta stelo, nekonveksa

Ofte la termino kvinlatero estas uzata por konveksa regula kvinlatero.

Konveksa regula kvinlatero

Ĉe konveksa regula kvinlatero ĉiuj lateroj estas egala kaj ĉiuj enaj anguloj estas 108°. Ĝia Simbolo de Schläfli estas {5}.

La areo de regula konveksa kvinlatero kun latera longo t estas $A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\cdot \tan(54^{\circ })}{4}}\ \approx 1.720477401t^{2}.$

Nekonveksa regula kvinlatero

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kvinpinta stelo.

Kvinpinta stelo estas nekonveksa regula stela kvinlatero. Ĝia Simbolo de Schläfli estas {5/2}. Ĝiaj lateroj estas la diagonaloj de regula konveksa kvinlatero. Rilatumo de longoj de lateroj de nekonveksa kaj konveksa regulaj plurlateroj kun la samaj verticoj estas la ora proporcio.

Konstruado

Regula kvinlatero estas konstruebla per cirkelo kaj liniilo, en taskoj de enskribado en donitan cirklon kaj konstruado kun donita latero. Ĉi tiu procezo estis priskribita de Eŭklido en lia Elementoj.

Unu maniero al konstrui regulan kvinlateron en donita cirklo estas la sekva:

1. Desegni cirklon en kiun estos enskribita la kvinlatero kaj marki la centran punkton kiel O. (Ĉi tiu estas la verda cirklo en la figuro dekstre).
2. Elekti punkto A sur la cirklo, kiu estos unu vertico de la kvinlatero. Desegni linion tra O kaj A.
3. Konstrui linion perpendikularan al la linio OA tra O. Marki ĝian komunaĵon kun unu flanko de la cirklo kiel la punkto B.
4. Konstrui la punkton C kiel la mezpunkton de O kaj B.
5. Desegni cirklon centritan je C tra la punkto A. Marki ĝian komunaĵon kun la linio OB ene de la originala cirklo kiel la punkto D.
6. Desegni cirklon centritan je A tra la punkto D. Marki ĝiajn komunaĵojn kun la originala (verda) cirklo kiel la punktoj E kaj F.
7. Desegni cirklon centritan je E tra la punkto A. Marki ĝian la alian komunaĵon kun la originala cirklo kiel la punkto G.
8. Desegni cirklon centritan je F tra la punkto A. Marki ĝian la alia komunaĵo kun la originala cirklo kiel la punkto H.
9. Konstrui la regulan kvinlateron AEGHF.

Post konstruo de regula konveksa kvinlatero, se kunigi la nenajbaraj verticojn de ĝi, do desegni la diagonalojn de la konveksa kvinlatero, rezultiĝas la regula stelokvinlatero, kun pli malgranda regula konveksa kvinlatero en la centro. Aŭ se etendi laterojn de regula konveksa kvinlatero ĝis kie ili intersekciĝas, rezultiĝas pli granda regula stelokvinlatero.

Rilatantaj trigonometriaj valoroj

$\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$

$\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}$

$\tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}$

$\cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

$\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}$

$\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$

$\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$

$\cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}$

Ne regulaj kvinlateroj

15 kvinlateraj kahelaroj

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15

Kvinlateroj en naturo

Kvinlatera sekco de gombo

Kristalo de pirito havas 12 identajn kvinlaterajn edrojn, kiuj ne nepre estas regulaj.

Vidu ankaŭ

• Dekduedro, pluredro konstruita el 12 kvinlateraj edroj
• Akurataj trigonometriaj konstantoj
• Kvinpinta stelo
• Pentagono
• Pentagramo

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Kvinlatero en MathWorld.
• Kiel konstrui regulan kvinlateron uzante nur cirkelon kaj liniilon
• Difino kaj propraĵoj de la kvinlatero, kun interaga animacio
• Naŭ konstruoj por la regula kvinlatero de Rubekolo Hu
• Konstruoj de regulaj kvinlateroj de artistoj de Renaskiĝoje