Pięciokąt
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/Regular_pentagon.svg/200px-Regular_pentagon.svg.png)
Pięciokąt (pięciobok) – wielokąt o pięciu bokach. Każdy pięciokąt ma pięć przekątnych. Szczególnym przypadkiem pięciokąta jest pięciokąt foremny.
Pięciokąt foremny
[edytuj | edytuj kod]Pięciokąt foremny – wielokąt foremny o pięciu bokach. Pięciokąty foremne są ścianami takich wielościanów jak m.in. dwunastościan foremny i dwudziestościan ścięty.
Własności
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/Regular_polygon_5_annotated.svg/300px-Regular_polygon_5_annotated.svg.png)
Pięciokąt foremny o boku długości ma następujące własności:
- każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę
- kąt środkowy okręgu opisanego oparty na boku pięciokąta ma miarę
- pole powierzchni wyraża się wzorem
- promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym ma długość
- promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny ma długość
- przekątna ma długość
- gdzie oznacza złotą liczbę
- wysokość ma długość
Konstruowalność
[edytuj | edytuj kod]Możliwość skonstruowania przy użyciu cyrkla i linijki pięciokąta foremnego wynika z twierdzenia Gaussa-Wantzela (liczba 5 jest liczbą pierwszą Fermata). Poniżej przedstawiono cztery przykładowe algorytmy; opierają się głównie na własności, że bok pięciokąta foremnego jest złotą częścią jego przekątnej.
Konstrukcja 1.
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Pentagon_construct.gif/120px-Pentagon_construct.gif)
Poniższą konstrukcję przedstawił H. W. Richmond w 1893 roku[1].
- Narysuj okrąg o środku S.
- Narysuj średnicę AB.
- Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
- Znajdź środek D odcinka CS i narysuj odcinek AD.
- Narysuj dwusieczną kąta ∠ADS, punkt jej przecięcia ze średnicą AB oznacz E.
- Narysuj prostą prostopadłą do AB przechodzącą przez E, punkt jej przecięcia z okręgiem oznacz F.
- Odcinek AF jest bokiem pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.
Konstrukcja 2.
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Regular_pentagon_construction.svg/120px-Regular_pentagon_construction.svg.png)
Ptolemeusz w swoim dziele Almagest[2][3] opisuje sposób znalezienia długości boku pięciokąta wpisanego w zadany okrąg.
- Narysuj okrąg o środku S.
- Narysuj średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS.
- Znajdź środek A jednego z promieni zawierających się w średnicy.
- Narysuj łuk o środku A i promieniu AB, punkt jego przecięcia ze średnicą oznacz C.
- Odcinek BC ma długość boku pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.
Konstrukcja 3.
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Regular_Pentagon_Inscribed_in_a_Circle_240px.gif/120px-Regular_Pentagon_Inscribed_in_a_Circle_240px.gif)
Metodę Ptolemeusza można rozbudować, uzyskując algorytm znalezienia wszystkich pięciu wierzchołków na okręgu.
- Narysuj okrąg o środku S.
- Narysuj prostą przechodzącą przez S i przecinającą okrąg w punktach A i B.
- Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
- Znajdź środek odcinka BS i oznacz go D.
- Narysuj łuk o środku D i promieniu CD, punkty jego przecięcia z prostą AB oznacz E i F.
- Narysuj łuk o środku C i promieniu CE, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz G i H.
- Narysuj łuk o środku C i promieniu CF, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz I i J.
- Punkty C, G, H, I, J są wierzchołkami pięciokąta foremnego.
Konstrukcja 4.
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Regular_Pentagon_Using_Carlyle_Circle.gif/120px-Regular_Pentagon_Using_Carlyle_Circle.gif)
W poniższej konstrukcji wykorzystano okrąg Carlyle’a[2].
- Narysuj okrąg o środku O.
- Przez punkt O poprowadź prostą k, punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz Q i P.
- Narysuj promień OA prostopadły do średnicy QP.
- Znajdź środek M promienia OQ.
- Narysuj okrąg o środku M przechodzący przez A; punkty jego przecięcia z prostą k oznacz V i W.
- Zakreśl łuk o środku W i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P1 i P4.
- Zakreśl łuk o środku V i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P2 i P3.
- Punkty P, P1, P2, P3, P4 są wierzchołkami pięciokąta foremnego.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Eric W. Weisstein , Pentagon, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- ↑ a b DeTemple, D.W. Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions.
- ↑ Ptolemy’s Construction for the Side of a Pentagon as a Formula.