Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο (αποσαφήνιση)

Ἀλλο θέμα

[1]

θέματα για διόρθωση

Θέμα επεξεργασίας

en:Widener Library
fr:Liste des universités au Royaume-Uni
en:Category:Digital libraries by country

en:American Mathematical Society

en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση

en:Euclidean distance matrix Πίνακας Ευκλείδειας απόστασης

en:Woodbury matrix identity Ταυτοτικός πίνακας Γούντμπερι

en:Band matrix Πίνακας ταινία

Νέο θέμα

Στα μαθηματικά, ιδίως στη θεωρία πινάκων, ένας πίνακας ταινίας ή πίνακας ζώνης είναι ένας αραιός πίνακας του οποίου οι μη μηδενικές καταχωρήσεις περιορίζονται σε μια διαγώνια ταινία, που περιλαμβάνει την κύρια διαγώνιο και μηδέν ή περισσότερες διαγωνίους σε κάθε πλευρά.

Πίνακας ταινιών

Εύρος ή πλάτης ζώνης

Επίσημα, θεωρούμε έναν πίνακα n×n A=(a_i,j). Αν όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι μηδέν εκτός μιας διαγωνίως οριοθετημένης ταινίας, το εύρος της οποίας καθορίζεται από τις σταθερές k₁ και k₂:

a_{i,j}=0\quad {\mbox{if}}\quad j<i-k_{1}\quad {\mbox{ or }}\quad j>i+k_{2};\quad k_{1},k_{2}\geq 0.\,

τότε οι ποσότητες k₁ και k₂ ονομάζονται κατώτερο εύρος ταινίας και ανώτερο εύρος ζώνης, αντίστοιχα^[1] Το εύρος ζώνης (bandwidth) του πίνακα είναι το μέγιστο των k₁ και k₂- με άλλα λόγια, είναι ο αριθμός k τέτοιος ώστε $a_{i,j}=0$ αν $|i-j|>k$ .^[2]

Παραδείγματα

Ένας πίνακας ταινίας με k₁ = k₂ = 0 είναι ένας διαγώνιος πίνακας
Ένας πίνακας ταινίας με k₁ = k₂ = 1 είναι ένας τριγωνικός πίνακας
Για k₁ = k₂ = 2 έχουμε έναν πενταδιαγώνιο πίνακα κ.ο.κ.
Τριγωνικοί πίνακες
- Για k₁ = 0, k₂ = n−1, προκύπτει ο ορισμός ενός άνω τριγωνικού πίνακα
- Ομοίως, για k₁ = n−1, k₂ = 0 προκύπτει ένας κάτω τριγωνικός πίνακας.
Ανώτεροι και κατώτεροι πίνακες Έσενμπεργκ
Πίνακες Τόεπλιτς όταν το εύρος ζώνης είναι περιορισμένο.
Διαγώνιοι Σύνθετοι πίνακες
Πίνακες μετατόπισης και πίνακες διάτμησης
Πίνακες στην κανονική μορφή του Ζορντάν
Πίνακας skyline, που ονομάζεται επίσης «πίνακας μεταβλητής ταινίας» - μια γενίκευση του πίνακα ταινίας
Οι αντίστροφοι των πινάκων Λέμερ είναι σταθεροί τριαδιαγώνιοι πίνακες, και επομένως είναι πίνακες ζώνης.

Εφαρμογές

Στην αριθμητική ανάλυση, οι πίνακες από προβλήματα πεπερασμένων στοιχείων ή πεπερασμένων διαφορών είναι συχνά ζωνοποιημένοι. Τέτοιοι πίνακες μπορούν να θεωρηθούν ως περιγραφές της σύζευξης μεταξύ των μεταβλητών του προβλήματος- η ιδιότητα της ζώνης αντιστοιχεί στο γεγονός ότι οι μεταβλητές δεν συνδέονται σε αυθαίρετα μεγάλες αποστάσεις. Τέτοιοι πίνακες μπορούν να διαιρεθούν περαιτέρω - παραδείγματος χάριν, υπάρχουν πίνακες με ταινίες όπου κάθε στοιχείο στη ζώνη είναι μη μηδενικό.

Προβλήματα σε υψηλότερες διαστάσεις οδηγούν επίσης σε πίνακες με ζώνες, οπότε και η ίδια η ζώνη τείνει να είναι αραιή. Παραδείγματος χάριν, μια μερική διαφορική εξίσωση σε ένα τετραγωνικό πεδίο (με χρήση κεντρικών διαφορών) θα δώσει έναν πίνακα με εύρος ζώνης ίσο με την τετραγωνική ρίζα της διάστασης του πίνακα, αλλά μέσα στη ζώνη μόνο 5 διαγώνιες είναι μη μηδενικές. Δυστυχώς, η εφαρμογή της Γκαουσιανής απαλοιφής (ή ισοδύναμα μιας LU ανάλυσης) σε έναν τέτοιο πίνακα έχει ως αποτέλεσμα η ζώνη να συμπληρώνεται από πολλά μη μηδενικά στοιχεία.

Αποθήκευση ταινίας

Οι πίνακες ταινιών αποθηκεύονται συνήθως με την αποθήκευση των διαγωνίων στη ζώνη- οι υπόλοιποι είναι σιωπηρά μηδενικοί.

Παραδείγματος χάριν, ένας τριδιαγώνιος πίνακας έχει εύρος ζώνης 1. Ο πίνακας 6 επί 6

{\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&0&\cdots &\cdots &0\\B_{21}&B_{22}&B_{23}&\ddots &\ddots &\vdots \\0&B_{32}&B_{33}&B_{34}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &B_{43}&B_{44}&B_{45}&0\\\vdots &\ddots &\ddots &B_{54}&B_{55}&B_{56}\\0&\cdots &\cdots &0&B_{65}&B_{66}\end{bmatrix}}

αποθηκεύεται ως ο πίνακας 6 επί 3

{\begin{bmatrix}0&B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}&B_{23}\\B_{32}&B_{33}&B_{34}\\B_{43}&B_{44}&B_{45}\\B_{54}&B_{55}&B_{56}\\B_{65}&B_{66}&0\end{bmatrix}}.

Μια περαιτέρω εξοικονόμηση είναι δυνατή όταν ο πίνακας είναι συμμετρικός. Παραδείγματος χάριν, ας θεωρήσουμε έναν συμμετρικό πίνακα 6 επί 6 με ανώτερο εύρος ζώνης 2:

{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&0&\cdots &0\\&A_{22}&A_{23}&A_{24}&\ddots &\vdots \\&&A_{33}&A_{34}&A_{35}&0\\&&&A_{44}&A_{45}&A_{46}\\&sym&&&A_{55}&A_{56}\\&&&&&A_{66}\end{bmatrix}}.

Αυτός ο πίνακας αποθηκεύεται ως πίνακας 6 επί 3:

{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}&A_{24}\\A_{33}&A_{34}&A_{35}\\A_{44}&A_{45}&A_{46}\\A_{55}&A_{56}&0\\A_{66}&0&0\end{bmatrix}}.

Μορφή ταινίας αραιών πινάκων

Από υπολογιστική άποψη, η εργασία με πίνακες ταινίας είναι πάντα προτιμότερη από την εργασία με τετραγωνικούς πίνακες παρόμοιας διάστασης. Ένας πίνακας ταινίας μπορεί να παρομοιαστεί ως προς την πολυπλοκότητα με έναν ορθογώνιο πίνακα του οποίου η διάσταση γραμμής είναι ίση με το εύρος ζώνης του πίνακα ταινίας. Έτσι, η εργασία που απαιτείται για την εκτέλεση πράξεων όπως ο πολλαπλασιασμός μειώνεται σημαντικά, οδηγώντας συχνά σε τεράστια εξοικονόμηση χρόνου υπολογισμού και πολυπλοκότητας.

Καθώς οι αραιοί πίνακες προσφέρονται για αποδοτικότερους υπολογισμούς σε σχέση με τους πυκνούς πίνακες, καθώς και για αποδοτικότερη χρήση του αποθηκευτικού χώρου των υπολογιστών, έχει επικεντρωθεί μεγάλη έρευνα στην εξεύρεση τρόπων ελαχιστοποίησης του εύρους ζώνης (ή απευθείας ελαχιστοποίησης της συμπλήρωσης) με την εφαρμογή μεταθέσεων στον πίνακα ή άλλων τέτοιων μετασχηματισμών ισοδυναμίας ή ομοιότητας.^[3]

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244.
Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269
Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9
Golub G. H., van Loan C. F. (1996), Matrix Computations (Johns Hopkins University Press) §4.7—Toeplitz and Related Systems
Gray R. M., Toeplitz and Circulant Matrices: A Review (Now Publishers) doi:10.1561/0100000006
Noor, F.; Morgera, S. D. (1992), «Construction of a Hermitian Toeplitz matrix from an arbitrary set of eigenvalues», IEEE Transactions on Signal Processing 40 (8): 2093–2094, doi:10.1109/78.149978
Pan, Victor Y. (2001), Structured Matrices and Polynomials: unified superfast algorithms, Birkhäuser, ISBN 978-0817642402
Ye, Ke; Lim, Lek-Heng (2016), «Every matrix is a product of Toeplitz matrices», Foundations of Computational Mathematics 16 (3): 577–598, doi:10.1007/s10208-015-9254-z

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ Golub & Van Loan 1996, §1.2.1.
↑ Atkinson 1989, σελ. 527.
↑ Davis 2006, §7.7.

Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-62489-6 .
Davis, Timothy A. (2006), Direct Methods for Sparse Linear Systems, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-898716-13-9 .
Feige, Uriel (2000), «Coping with the NP-Hardness of the Graph Bandwidth Problem», Algorithm Theory - SWAT 2000, Lecture Notes in Computer Science, 1851, doi:10.1007/3-540-44985-X_2 .
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd έκδοση), Baltimore: Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9 .
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 2.4», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=56 .

[[Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Θεωρία πινάκων] [[Κατηγορία:Μαθηματική φυσική]

[[Κατηγορία:Διαφορικές εξισώσεις] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Τοπολογία]

[[Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρίαν] [[Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα]

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Θεωρία αναπαραστάσεων] [[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών]

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση]

[[Κατηγορία:Μαθηματικά προβλήματα]

[[Κατηγορία:Διάσταση]

[[Κατηγορία:Επιστήμη υπολογιστών]

[[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Διάσταση] [[Κατηγορία:Γενική τοπολογία]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Μιγαδική αναλυτική ποικιλία } [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]