Apotema

Apotema nekog poligona je linijski segment, koji spaja centar poligona sa centrom neke od njegovih stranica. Ekvivalentno prethodnom, za apotemu se može reći da ona predstavlja liniju čija se početna tačka nalazi u centru poligona, i koja je normalna na jednu od njegovih stranica. Riječ "apotema" se takođe može odnositi i na dužinu tog linijskog segmenta. Regularni poligoni su jedini tip poligona koji mogu da imaju apoteme. Zbog ovoga, sve apoteme u nekom poligonu će biti kongruentne.

Za regularnu piramidu, koja je u stvari piramida čija je baza regularan poligon, apotema je bočna visina nekog poligona u omotaču, to jeste, najkraća udaljenost od vrha piramide do baze, prelazeći preko datog poligona u omotaču. Kod zarubljene regularne piramide (koja predstavlja još jedan tip pramide, kod koje je vrh uklonjen nekom ravni koja je paralelna njenoj bazi), apotema je visina nekog trapeza u omotaču.

Za jednakostranični trougao, apotema je ekvivalentna linijskom segmentu koji spaja središte stranice sa centrom trougla.

Osobine apotema

Apotema a može biti iskorištena kako bi se našla površina bilo kakvog n-straničnog poligona, koji imaju neku dužinu s, preko sljedeće formule, koja govori da je površina takvog poligona jednaka dužini apoteme, koja je pomnožena sa polovinom obima ns (rečeno je da ima n stranica neke dužine s) gdje se ns može zamijeniti sa p.

A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.

Ova formula može biti dobijena dijeljenjem n-straničnog poligona tako da se dobije n kongruentnih jednakokrakih trouglova, iz čega se može zaključiti da je apotema visina svakog takvog trougla i da je površina takvog trougla jednaka polovini dužine njegove osnovice, pomnoženo sa njegovom visinom.

Apotema regularnog poligona će uvijek biti poluprečnik njegove upisane kružnice. Takođe, ona predstavlja i najmanju udaljenost od bilo koje njegove stranice i njegovog centra.

Ova osobina se može iskoristiti kako bi se lahko dobila formula za površinu kruga, zbog toga što ako se broj stranica nekog poligona približava beskonačnosti,onda se površina takvog poligona sve više približava površini upisanog kruga, poluprečnika r = a.

A={\frac {pa}{2}}={\frac {(2\pi r)r}{2}}=\pi r^{2}

Nalaženje apoteme

Apotema regularnog poligona se može dobiti na više načina.

Apotema a nekog regularnog n-straničnog poligona, dužine stranice s, ili poluprečnikom upisane kružnice R, se može naći preko formule:

a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=R\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).

Apotema se može naći i preko sljedeće formule:

a={\frac {s}{2}}\tan \!\left({\frac {\pi (n-2)}{2n}}\right).

Ove formule se i mogu koristiti i za slučaj da su poznati samo parametar p i broj stranica n zbog toga što je dužina stranice s jednaka $s={\frac {p}{n}}.$

Također pogledajte

Reference

Vanjski linkovi