Синусова теорема

Синусовата теорема в тригонометрията изразява пропорционалната зависимост между дължините на страните на триъгълник в равнината и синусите на ъглите срещу тях.

Синусова теорема

Фиг. 1. С описана окръжност.

Фиг. 2. Без описана окръжност.

Ако страните на триъгълника са означени с $a,b$ и $c$, а ъглите срещу тях с $A,B$ и $C$, тогава синусовата теорема гласи:

За всеки триъгълник отношението на коя да е страна и синуса на срещулежащия ъгъл е равно на диаметъра на описаната около триъгълника окръжност:

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R=d$,

където $R$ e радиусът на описаната окръжност, а $d$ е нейният диаметър (фиг. 1). Този резултат датира от Птолемей.

Теоремата има и обикновен вариант без използване на описаната окръжност, когато последната част от уравнението не се записва (фиг. 2):

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на срещулежащите ъгли:

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}$,

а понякога законът се изразява и с реципрочните стойности:

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}$.

Тези формули се използват, за да се намерят неизвестните страни на триъгълника, ако се знаят 2 ъгъла и третата страна, което е основна задача при триангулацията. Може да се използват и ако са известни две от страните и един от ъглите, но не този сключен между тях. Тогава уравненията ще дадат 2 решения за сключения ъгъл между известните страни: остър и тъп ъгъл, сумата от които е 180°, тъй като за всеки ъгъл $\alpha$ важи равенството $\sin \alpha =\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)$.

По синусовата теорема може да се определи и радиусът на описаната окръжност около триъгълника, ако се знаят една от страните му и ъгълът срещу нея:

$R={a \over 2\sin A}={b \over 2\sin B}={c \over 2\sin C}$.

При остроъгълен и тъпоъгълен триъгълник диаметърът на описаната окръжност е по-голям от всяка от страните му, а при правоъгълен триъгълник е равен на хипотенузата.

Диаметърът на описаната окръжност може да се определи и чрез Хероновата формула за лице на триъгълника (фиг. 3):

Фиг. 3. Синусова теорема и лице $S$ на триъгълника

$d={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}$ или

$d={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$,

където $p={\frac {(a+b+c)}{2}}$ е полупериметърът на триъгълника.

Доказателство

Нека е даден триъгълник със страни $a,b$ и $c$ и срещулежащи ъгли $A,B$ и $C$ (фиг. 4). От върха $C$ се спуска перпендикуляр към страната $c$ и се обозначава с $h$. Така се получават 2 правоъгълни триъгълника. За тях са верни равенствата:

Фиг. 4. Доказателство на синусова теорема.

$\sin A={\frac {h}{b}}$ и $\;\sin B={\frac {h}{a}}$.

Следователно

$h=b\,\sin A=a\,\sin B$

и

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}$.

Същото се получава и ако се спусне перпендикуляр от върха $A$ към страната $a$

${\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

и от върха $B$ към страната $b$

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin C}{c}}$.

От свързването на последните три равенства се формулира синусовата теорема.

Сферична синусова теорема

^{Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.}

Сферичната синусова теорема има същата формулировка и се отнася за сферичен триъгълник.

Вижте също

• Триъгълник
• Тригонометрична функция
• Триангулация
• Косинусова теорема
• Тангенсова теорема
• Котангенсова теорема