Saltar al conteníu

Operación binaria

De Wikipedia
Operación binaria
función binaria (es) Traducir y partial binary operation (en) Traducir
operación unaria (es) Traducir Operación binaria operación ternaria (es) Traducir
Cambiar los datos en Wikidata
Esquema d'una operación binaria.

Defínese como operación binaria (o llei de composición)​ aquella operación matemática, que precisa de l'operador y dos operandos (argumentos) por el que calculese un valor.[1][2]

Formalmente, daos trés conxuntos A, B y C una operación binaria productu, representando la operación pol signu ∘ , ye una aplicación qu'asigna a cada par de valores a de A y b de B un solu valor c de C, que podemos representar:

En particular, A, B y C podríen ser el mesmu conxuntu, que denotamos A. Polo tanto, una operación binaria nel conxuntu A ye una aplicación d'elementos del productu cartesianu A×A na A.

Esisten dos tipos d'operaciones binaries, les operaciones binaries internes y les operaciones binaries esternes.

Notación

[editar | editar la fonte]

Una operación binaria ∘ ente dos elementos, a y b, de dos conxuntos, A y B, puede denotase por:

siendo la primera la más común.

Exemplu d'operación binaria

[editar | editar la fonte]

La suma (+) de númberos naturales ye un exemplu d'operación binaria interna nel conxunto .

y tenemos que:

Según los conxuntos A, B y C podemos estremar dos tipos d'operaciones, les internes nes qu'A = B = C, y les esternes que son toles demás. Denomínase Llei de Composición a un subtipo d'operación binaria.

Esquema de les tipos d'operaciones binaries en castellanu

Operación binaria interna

[editar | editar la fonte]

Si a cada par de valores (a, b) de la operación correspuéndelu a un valor c de A:

dizse qu'esta operación ye interna, tamién se llama llei de composición interna.

Operación binaria esterna

[editar | editar la fonte]

Si la operación nun ye interna entós ye esterna, pudiéndose presentar los siguientes casos:

  • Si a cada par de valores a de A y b de B, asígnase-y un valor c de A,

a esta operación tamién se denomina llei de composición esterna.

  • Si la operación ye de la forma:

na qu'a cada par de valores a, b de A asígnase-y un c de B, esta operación nun se denomina llei de composición.

  • Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conxuntos distintos:

ye'l casu más xeneral, y tampoco se denomina llei de composición.

Propiedaes d'una operación binaria

[editar | editar la fonte]

Dáu un conxuntu A non vacíu y definida una aplicación de sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y un valor c de A, que representamos:

Puede tener les siguientes propiedaes:

Conmutatividá

[editar | editar la fonte]

Dizse que tien la propiedá conmutativa na A si cumplese:

Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al d'operar b con a.

De la mesma podemos dicir que la llei de composición interna , nun ye conmutativa na A si:

Si esiste dalgún a, b na A, que cumple que la resultancia d'operar a con b ye distintu d'operar b con a.

Anticonmutatividá

[editar | editar la fonte]

La operación en A ye anticonmutativa si:

Para tou a, b de A, cúmplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al opuestu d'operar b con a.

Asociatividá

[editar | editar la fonte]

Dizse que ye asociativa si, solu si:

Para tou a, b, c de A cumplese qu'operando a con b y la resultancia con c ye igual a operar a cola resultancia d'operar b con c.

Tamién puede dicise que la operación nun ye asociativa si cumplese:

Esisten a, b, c na A que cumplen qu'operando a con b y la resultancia con c ye distintu d'operar a cola resultancia d'operar b con c.

Propiedaes de dos operaciones binaries

[editar | editar la fonte]

Dáu un conxuntu A non vacíu y definíes dos aplicación d'A por A sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y cola operación un valor c de A y con la operación el valor d de A que representamos: .

Pueden tener les siguientes propiedaes:

Distributividá

[editar | editar la fonte]

Dizse qu'una operación binaria ye distributiva si y solu si ye distributiva pela esquierda y pela derecha.

Distributividá pela esquierda

[editar | editar la fonte]

Dizse que la operación ye distributiva pela esquierda de si cumplese:

Distributividá pela derecha

[editar | editar la fonte]

Dizse que la operación ye distributiva pela derecha de si cumplse:

Elementos distinguidos

[editar | editar la fonte]

Elementu neutru

[editar | editar la fonte]

Un elemento e ye elementu neutru en si ye elementu neutru pela derecha y pela esquierda.

Elementu neutru pela derecha

[editar | editar la fonte]

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela derecha si:

Elementu neutru pela esquierda

[editar | editar la fonte]

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela esquierda si:

Unicidá del elementu neutru

[editar | editar la fonte]

El elementu neutru ye únicu. Demuestrase por reducción al absurdo. Vamos suponer que esisten dos elementos neutros, e y e'.

  • Por ser e l'elementu neutro, pa to tou a cumplese que ea=a.
  • Por ser e' l'elemtu neutru, pa tou a cumplese que e'a=a.

Polo tanto, ea=e'a y ye claru que e=e'.

Elementu simétricu

[editar | editar la fonte]

Dizse que ye simétricu de si:

onde e ye l'elementu neutru.

Elementu involutivu

[editar | editar la fonte]

Dizse que ye elementu involutivu si:

Elementu absorbente

[editar | editar la fonte]

Dizse que ye elementu absorbente si:

Operación inversa

[editar | editar la fonte]

Sía A un conxuntu con una operación binaria :

polo que quepe la ecuación:

Si:

Si A almite elementos simétricos, defínese:

Arrexuntando:

onde e ye l'elementu neutru:

simplificando:

La operación inversa seria

Otres propiedaes

[editar | editar la fonte]

Simplificación o cancelativa

[editar | editar la fonte]

Sía A cola operación  si ab =ac implica que b=c, dizse que se simplificó a pela esquierda. Y si de ba =ca deduzse b=c y dizse que se simplificó pela derecha. Si puede simplificase per dambos llaos falase de simplificación o cancelación.

Divisores del cero

[editar | editar la fonte]

Sía'l conxuntu A y l'operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 deduzse qu'ab = 0 , dizse qu'a y b son divisores del 0.

Ver tamién

[editar | editar la fonte]

Referencies

[editar | editar la fonte]
  1. Brainard Braimah. Definitions of Some Mathematical Terms for 11-18 Year Olds. Xulon Press, novembre 2007, p. 23–. ISBN 978-1-60477-357-6.
  2. A Text Book of Mathematics XII Vol. 1. Rastogi Publications, p. 3–. ISBN 978-81-7133-897-9.

Enllaces esternos

[editar | editar la fonte]