خاصية أرخميدس

خاصية أرخميدس

معلومات عامة

صنف فرعي من	خاصية
سُمِّي باسم	أرخميدس
اختار الاسم	أوتو شتولتس
يُصوِّر	مجموعة الأعداد الطبيعية
يدرسه	أسس الرياضيات
المكتشف أو المخترع	إيودوكسوس من كنيدوس
تعريف الصيغة	$nx>y,y>x>0,n\in \mathbb {N}$

خاصية أرخميدس: بمعرفتك لمجموعة الأعداد الحقيقية R وتصورك لخط الأعداد الحقيقية قد يبدو واضحاً أن مجموعة الأعداد الطبيعية N غير محدودة في مجموعة الأعداد الحقيقية R كيف نستطيع اثبات ذلك ؟ في الحقيقة لا نستطيع ان نفعل ذلك باستخدام الجبر وخصائص النظام، في الواقع يجب أن نستخدم completeness propertyفي R إضافة إلى خاصية الإستقراء في N حيث أن ( إذا كان n∈N فإن n+1 ∈N ) عند عدم وجود الحد العلوي لمجموعة الاعداد الطبيعية N يعني ذلك أن أي عدد حقيقي x يوجد عدد طبيعي n (يعتمد على x) بحيث x<n الإثبات : نريد أثبات أنه إذا كان x∈R إذا يوجد nx∈N بحيث x≤nx نفرض العكس للحصول على تناقض اذن نفترض : لكل n∈N بحيث x>n اذن x تمثل حداً علوياً للمجموعة N ومنها : اذن يوجد u∈R بحيث أن u=sup N يعنيu-1 ليس حد علوي اذن يوجد m∈N بحيث u-1<m u<m+1, m+1 ∈N اذنu ليس اصغر حد علوي لمجموعة Nاذن يوجد nx∈N بحيث x≤nx

• نتيجه:

إذا كان S={1/n: n∈N} → inf S =0

الاثبات : S مجموعة غير خاليه ومحدوده من أسفل بالصفر، لنفرض أن w=inf S ومن الواضح أن w≥0 لكل ε>0 خاصية أرخميدس تعني أنه يوجد n∈N بحيث : ε<1/nاذن n>1/ε نجد أن لدينا: 0≤w≤1/n <ε ولكن لأي قيمة عشوائية لـ ε>0 فإن w=0

• نتيجه:

إذا كانت t>0 يوجد nt∈N بحيث: 0<1/nt<t اثبات: عندما inf{1/n: n∈N}=0 و t>0 إذا t ليس حد سفلي للمجموعه {1/n حيث n∈N} وبالتالي يوجد nt∈N بحيث 0<1/nt<t

• نتيجه:

إذا كانت y>0 يوجد nyN بحيث : ny-1≤ y ≤ny اثبات: خاصية أرخميدس يضمن المجموعة {Ey={m∈N : y<m الجزئية من الأعداد الطبيعية N غير خالية، ن طريق خاصية الترتيب الجيد للأعداد إذا مجموعة Ey تحتوي عنصر نرمز له بالرمز ny إذا ny-1 ليست داخل Ey إذا لديناny-1 ≤ y ≤ny

مثال على تطبيق خاصية ارخميدس في اثبات نظريات أخرى : -اثبتي أن المتتابعة (n) تباعدية. من خاصية أرخميدس نعلم أن الاعداد الطبيية غير محدودة إذاً المتتابعة n غير محدوده وبالتالي تكون تباعدية ومن المعاكس الإيجابي لنظرية أن «كل متتابعة محدودة هي تقاربية» إذا كل غير محدوده تباعديه إذاً (n) تباعدية

المصدر: introduction to real analysysis Robert G.Bartlr 4thedithion

نتيجة 1 : المجموعة N محدودة من أسفل ولكن ليست محدودة من أعلى نتيجة 2 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية حيث:

x>1/n

نتيجة 3 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد m,n ينتمي للاعداد الصحيحة حيث:

n>x>m

نتيجة 4 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الصحيحة حيث:

n+1>x ≥ n

نتيجة 5 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية حيث:

x ≥ n> x-1

نتيجة 6 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية:

بحيث x> n ≥ x-1

مثال : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية حيث:

 n(n+1)/2>x≥ n(n-1)/2

للعدد الحقيقي 1/2*(2x+ 1/4)√ من النتيجة 5 يوجد عدد وحيد n∈N بحيث : N+1>√(2x+ 1/4)+1/2≥n

n+1/2)^2> 2x+ 1/4 ≥ (n-1/2)^2) 

أو

n^2+n> 2x ≥ n^2-n 

أو

n(n+1)/2>x≥ n(n-1)/2

يوضح المثال بالأعلى أن كل عدد صحيح موجب nيستطيع أن يعرف فردياً كـ: n=(i(i-1))/2 +j لكل i,j∈N ^ 1≤ j ≤i في مثل هذا المثال الفريد من نوعه للعناصر الطبيعية يكون أحياناً مساعد لفحص مجموعة الاعداد القابله للعد

المصدر : الويكبيديا الإنجليزية Archimedean semi-group

ترجمة وتنسيق طالبات قسم الرياضيات - جامعة الدمام بإشراف الدكتورة فاطمة الرواجح