在同一尺度上的归一化 sinc 函数(蓝色)与非归一化 sinc 函数(红色)
将 sinc 函数作为音频播放(2000 Hz)
sinc函数(英語:sinc function)是一種函數,在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符號
表示這種函數。
sinc函数可以被定義为归一化的或者非归一化的,不過兩種函數都是正弦函数和单调的递减函数 1/x的乘积:
- 在数字信号处理和通信理论中,人們把归一化sinc函数定义为
- 對於所有x ≠ 0,
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22739faae68af714aa3f875ee807fe3231f45c93)
- 在数学领域中,人們以前使用的非归一化sinc函数 (for sinus cardinalis)被定义为
- 對於所有x ≠ 0,
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a8ae80d4f9fcde64275bc5826adea95b10f2bd)
在这两种情况下,當x=0時sinc函数的值被定义为以下的極限值,因此 sinc 函数是处处可解析的。
- 對於任何實數 a ≠ 0,
![{\displaystyle \operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc34cd01f06c44a91e729682efa88eeebcbd4872)
非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数,只是它的变量中没有放大系数 π 。
Re Sinc complex plot
Im Sinc complex plot
Abs Sinc complex plot
归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用:
- 对于
与
(整数),
和
;也就是说,它是一个插值函数。
- 函数
在函数空间
形成一个带限函数的正交基,它的最大角频率是
,也就是说最大的循环频率是
。
这两个 sinc 函数的其它特性包括:
- 非归一化 sinc 函数
;对应于它与余弦函数的交点。也就是说,如果
的导数是 0 ,即在
有极值,那么
。
- 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数
。归一化 sinc 是
。
- 非归一化 sinc 的过零点是
的非零倍数;归一化 sinc 函数
的过零点出现在非零整数。
- 归一化 sinc 函数
的对于普通频率的连续傅里叶变换是
。
,
- 其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1,在其它区域值为 0。
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,dx=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43bef11ea4faac598505c1608d83b96b68b495b)
- 是广义积分。因为:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\right|\ dx=\infty \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adde812be6340988da0facbbc5974bfc1db7fb7d)
所以它不是勒貝格積分。
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d599ee9734a68cc11a2b24c882819256f7ac046e)
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}={\frac {1}{x!(-x)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973c9d51c7cb697c0383506f7f51fdf6580eeb89)
- 其中
是 Γ函数。
尽管不是分布,归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数(参见狄拉克δ函数)使用。
归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f27edca204c02b1ded8e8b32e76bcf5ede7cadd)
由于等式左侧并不收敛,所以这不是普通的 limit,而是说明对于任意的緊支撐平滑函数
有
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi (x)\,dx=\varphi (0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a0ed646bdd8b4e9d91f0962e6637840c0e4f5b)
在上面的表达式中,随着 a 趋近于 0,sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限,然而不管 a 是什么值,这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾,δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0,这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象(Gibbs phenomenon)中也有类似的状况。