實數(ℝ)包括有理數(ℚ),其中包括整數(ℤ),其中包括自然數(ℕ)
数学上,可以表达为两个整数比的数(
,
)被定义为有理数,例如
,0.75(可被表达为
);整数和整数分数统称为有理数。
与有理数相對的是无理数,如
无法用整数比表示。
有理数与分數形式的区别,分數形式是一种表示比值的记法,如 分數形式
是无理数。
所有有理数的集合表示为Q,Q+,或
。定义如下:
![{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d32c576a132a89e30c1083da67c4423d2a37227)
有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。
有理数在英文中称作rational number,来自拉丁语rationalis,意为理性的;词根ratio,拉丁语意为理性、计算。[1]代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数(rational number)一词更晚,前者最早有记录是1660,而后者是1570年。[2][3]
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的,亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下:
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230edf6fa0d002e1d8dc294ac561d224b6843dd6)
两个有理数
和
相等当且仅当
有理数中存在加法和乘法的逆:
时,![{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba8bb5b706e5a7ef190ad5df66895022768cc37)
两数相乘,同号得正异号得负,并把绝对值相乘。
古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如:
![{\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229e6cbe9a4f9ad7c2786797b5835a19509c238f)
对于给定的正有理数,存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。
数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上
的等价类,这里
不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法,规则如下:
![{\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cd82466fd7b483c5bdee7351f64c4b89ca9b71)
![{\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764a4ec43e2cc58d0a1655ad58b0f8cb2dce8412)
为了使
,定义等价关系
如下:
![{\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad16daf4a63b100a44fae4cef73413090eda7828)
这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的,而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集:
。例如:两个对
和
是相同的,如果它们满足上述等式。(这种构建可用于任何整数环,参见商域。)
Q上的大小可以定义为:
当且仅当
并且![{\displaystyle ad\leq bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f97c1ed1eeee9f52655854a6bdce03b7c1fef9f)
并且![{\displaystyle ad\geq bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0235ac457f03d9f7d95117644702f04d9ef26c83)
然後
是指
但
。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念,即:
当且仅当
。此排序中,每一对有理数
之间皆可比較,必有且仅有以下关系之一:
,
,
。
又滿足传递性:若
,且
,则
。所以以上定義的大小關係是全序关系。
有理數集的序還滿足稠密性:若
,则必存在有理数
,满足
,且
。[4]
有理数集是可数的
集合
,以及上述的加法和乘法运算,构成域,即整数
的商域。
有理数是特征为0的域最小的一个:所有其他特征为0的域都包含
的一个拷贝(即存在一个从
到其中的同构映射)。
的代数闭包,例如有理数多项式的根的域,是代数数域。
所有有理数的集合是可数的,亦即是說
的基數(或勢)與自然數集合
相同,都是阿列夫數
,這是因為可以定義一個從有理數集
映至自然數集合的笛卡爾積
的單射函數,而
是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的,所以从勒贝格测度来看,可以认为绝大多数实数不是有理数。
有理数的序是个稠密序:任何两个有理数之间存在另一个有理数,事实上是存在无穷多个。此外,有理數集也沒有最大和最小元素,所以是無端點的可數稠密全序(dense linear order without endpoints)。康托爾同構定理說明,任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序,換言之,若不辨同構之異,則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。
有理数是实数的稠密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,僅有理数可化為有限连分数。
依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密)子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量
,有理数构成一个度量空间,这是
上的第三个拓扑。幸运的是,所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间;实数是
的完备集。
除了上述的绝对值度量,还有其他的度量将
转化到拓扑域:
设
是素数,对任何非零整数
设
,这里
是整除
的
的最高次幂;
另外
。对任何有理数
,设
。
则
在
上定义了一个度量。
度量空间
不完备,它的完备集是p进数域
。
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| 可數集 |
- 自然数 (
)
- 整数 (
)
- 有理数 (
)
- 規矩數
- 代數數 (
)
- 周期
- 可計算數
- 可定义数
- 高斯整數 (
)
- 艾森斯坦整数
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| 合成代數 |
- 可除代數:实数 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元数 (
)
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| 凯莱-迪克森结构 |
- 实数 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元数 (
)
- 十六元數 (
)
- 三十二元數
- 六十四元數
- 一百二十八元數
- 二百五十六元數……
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| 分裂 形式 | |
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| 其他超複數 | |
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| 其他系統 | |
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