统计学习理论

统计学习理论（英語：Statistical learning theory），一種機器學習的架構，根據統計學與泛函分析（Functional Analysis）而建立。統計學習理論基於資料（data），找出預測性函數，之後解決問題。支持向量机（Support Vector Machine）的理論基礎來自於統計學習理論。

形式定义

令$X$为所有可能的输入组成的向量空间， $Y$为所有可能的输出组成的向量空间。统计学习理论认为，积空间$Z=X\times Y$上存在某个未知的概率分布$p(z)=p({\vec {x}},y)$。训练集由这个概率分布中的$n$个样例构成，并用$S=\{({\vec {x}}_{1},y_{1}),\dots ,({\vec {x}}_{n},y_{n})\}=\{{\vec {z}}_{1},\dots ,{\vec {z}}_{n}\}$表示。每个${\vec {x}}_{i}$都是训练数据的一个输入向量， 而$y_{i}$则是对应的输出向量。

损失函数

损失函数的选择是机器学习算法所选的函数$f_{S}$中的决定性因素。 损失函数也影响着算法的收敛速率。损失函数的凸性也十分重要。

根据问题是回归问题还是分类问题，我们可以使用不同的损失函数。

回归问题

回归问题中最常用的损失函数是平方损失函数（也被称为L2-范数)。类似的损失函数也被用在普通最小二乘回归。其形式是：

$V(f({\vec {x}}),y)=(y-f({\vec {x}}))^{2}$

另一个常见的损失函数是绝对值范数（L1-范数）：

$V(f({\vec {x}}),y)=|y-f({\vec {x}})|$

分类问题

主条目：统计分类

某种程度上说0-1指示函数是分类问题中最自然的损失函数。它在预测结果与真实结果相同时取0，相异时取1。对于$Y=\{-1,1\}$的二分类问题，这可以表示为：

$V(f({\vec {x}}),y)=\theta (-yf({\vec {x}}))$

其中$\theta$为单位阶跃函数。

正则化

这张图片给出了机器学习中过拟合的例子。图中红点表示训练数据，绿色曲线表示真实的函数关系，而蓝色曲线为习得的过度拟合了的函数。

机器学习的一大常见问题是过拟合。由于机器学习是一个预测问题，其目标并不是找到一个与（之前观测到的）数据最拟合的的函数，而是寻找一个能对未来的输入作出最精确预测的函数。经验风险最小化有过拟合的风险：找到的函数完美地匹配现有数据但并不能很好地预测未来的输出。

过拟合的常见表现是不稳定的解：训练数据的一个小的扰动会导致学到的函数的巨大波动。可以证明，如果解的稳定性可以得到保证，那么其可推广性和一致性也同样能得到保证。 正则化可以解决过拟合的问题并增加解的稳定性。

正则化可以通过限制假设空间${\mathcal {H}}$来完成。一个常见的例子是把${\mathcal {H}}$限制为线性函数：这可以被看成是把问题简化为标准设计的线性回归。${\mathcal {H}}$也可以被限制为$p$次多项式，指数函数，或L1上的有界函数。对假设空间的限制能防止过拟合的原因是，潜在的函数的形式得到了限制，因此防止了那些能给出任意接近于0的经验风险的复杂函数。

一个正则化的样例是吉洪诺夫正则化，即最小化如下损失函数

${\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V(f({\vec {x}}_{i}),y_{i})+\gamma \|f\|_{\mathcal {H}}^{2}$

其中正则化参数$\gamma$为一个固定的正参数。吉洪诺夫正则化保证了解的存在性、唯一性和稳定性。