域 (数学)

「域」的各地常用名稱
中国大陸	域
臺灣	體

在抽象代数中，域（德語：Körper，英語：Field）是一种可進行加、減、乘和除（除了除以零之外，「零」即加法單位元素）運算的代數結構。域的概念是数域以及四则运算的推广。

域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元素之外）可以进行除法运算，这等于说每个非零的元素都要有乘法逆元。體中的運算关于乘法是可交换的。若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環（division ring）或skew field。

定义

非正式的講，體是種集合，集合中的元素可以做兩種運算，"加法"：$a+b$ 和"乘法"： $a\cdot b$, 且要求集合中任意元素 $a$ 有加法反元素 $-a$，對所有非零元素 $b$ 有乘法反元素 $b^{-1}$，這種性質讓我們可以用以下方法來定義加法和乘法的"反運算"，減法：$a-b$ 和除法 $a/b$

$a-b=a+(-b)$

$a/b=a\cdot b^{-1}$

定义1

域是交换性除环。

定义2

域是一種交換環(F, +, *)，當中加法單位元（0）不等於乘法單位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。更簡單講就是：域是可交換除環。

定义3

域是個集合 $F$ 且帶有加法和乘法兩種運算，這裡“運算”可以想成是種映射，對$\forall a,b\in F$，這映射將此兩元素對應到某元素，且這些運算满足如下性质：

在加法和乘法兩種運算上封閉

對$\forall a,b\in F$，$a+b$和$a*b$$\in$F（另一種說法：加法和乘法是F上的二元運算）。

加法和乘法符合結合律

對$\forall a,b,c\in F$，$(a+b)+c=a+(b+c)$，$(a*b)*c=a*(b*c)$

加法和乘法符合交換律

對$\forall a,b\in F$，$a+b=b+a$，$a*b=b*a$

符合乘法對加法的分配律

對$\forall a,b,c\in F$，$a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$

存在加法單位

在F中有元素0，使得$\forall a\in F$，$a+0=a$

存在乘法單位

在F中有不同于0的元素1，使得$\forall a\in F$，$a*1=a$

存在加法逆元

對$\forall a\in F$，$\exists$$-a$使得$a+(-a)=0$

非零元素存在乘法逆元

對$\forall a\in F$ , $a\neq 0$，$\exists$$a^{-\!1}$使得$a*a^{-1}=1$

其中“元素0不同于元素1”的要求排除了平凡的只由一个元素组成的域。

由以上性质可以得出一些最基本的推论：

−(a * b) =(−a)* b = a *(−b)

a * 0 = 0

如果a * b = 0，则要么a = 0，要么b = 0

例子

• 許多常见的数域都是域。比如说，全体复数的集合$\mathbb {C}$对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合$\mathbb {Q}$也是一个域，它是$\mathbb {C}$的子域，并且不包含更小的子域了。
• 代数数域：代数数域是有理数域$\mathbb {Q}$的有限扩域，也就是说代数数域是$\mathbb {Q}$上的有限维向量空间。代数数域都同构于$\mathbb {C}$的子域，并且这个同构保持$\mathbb {Q}$不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
• 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作${\overline {\mathbb {Q} }}$。${\overline {\mathbb {Q} }}$是有理数域$\mathbb {Q}$的代数闭包（见下）。${\overline {\mathbb {Q} }}$是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
• 全体实数的集合$\mathbb {R}$对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域$\mathbb {C}$的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
• 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是$\mathbb {R}$的一个子域
• 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作F_q，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域：F₂。F₂只含有两个元素0和1运算法则如下：

$\oplus$ 0 1 0 0 1 1 1 0

$\land$ 0 1 0 0 0 1 0 1

• 设E和F是两个域，E是F的子域，则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域，记作E (x)，E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说，复数域$\mathbb {C}$就是实数域$\mathbb {R}$在$\mathbb {C}$中关于虚数单位i的单扩张
• 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。
• 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
• 设F是一个域，p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式，则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说，R[X]/<X² + 1>是一个域（同构于复数域$\mathbb {C}$）。可以证明，F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
• 若V是域F上的一个代數簇，则所有V → F 的有理函数构成一个域，称为V的函数域。
• 若S是一个黎曼曲面，则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
• 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于$2^{2^{n}}$的所有自然数构成的子集）都是域。

基本性质

• 域F中的所有非零元素的集合（一般记作F^×）是一个关于乘法的阿贝尔群。F^×的每个有限子群都是循环群。
• 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数p，要么是0（表示这样的n不存在）。此时$F$中最小的子域分别是$\mathbb {Q}$或有限域$\mathbb {F} _{p}$，称之为$F$的素域。
• 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
• 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。

有限體

有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道$\mathbb {F} _{2}$為最小的有限體。

參見

• 特徵 (代数)
• 環論
• 域論
• 有序域