歸一條件

在量子力學裏，表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件，也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於$1$。這性質稱為歸一性。用數學公式表達，

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\ dx=1$ ;

其中，$x$是粒子的位置，$\psi (x)$是波函數。

歸一化導引

一般而言，波函數$\psi$是一個複函數。可是，$\psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}$是一個實函數，大於或等於$0$，稱為機率密度函數。所以，在區域$[x,\ x+\Delta x]$內，找到粒子的機率$\Delta P$是

$\Delta P=\mid \psi \mid ^{2}\Delta x$；(1)。

既然粒子存在於空間，機率是$1$。所以，積分於整個一維空間：

$P=\int _{-\infty }^{\infty }\mid \psi \mid ^{2}dx=1$。(2)

假若，從解析薛丁格方程而得到的波函數$\psi$，其機率$P$是有限的，但不等於$1$，則可以將波函數$\psi$乘以一個常數，使機率$P$等於$1$。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率$P$等於$1$。

實例

在一維空間內，束縛於區域$[0,\ \ell ]$內的一個粒子，其波函數是

$\psi (x,\ t)={\begin{cases}Ae^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&elsewhere\end{cases}}$；

其中，$k$是波數，$\omega$是角頻率，$A$是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值$A$。將波函數代入：

$\mid \psi \mid ^{2}=A^{2}e^{i(kx-\omega t)}e^{-i(kx-\omega t)}=A^{2}$。

積分於整個粒子存在的區域：

$\int _{0}^{\ell }A^{2}dx=1$。

稍加運算，

$A^{2}\ell =1\qquad \Rightarrow \qquad A=\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)$。

歸一化的波函數是：

$\psi (x,t)={\begin{cases}\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)e^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&{\text{elsewhere}}\end{cases}}$。

薛丁格方程的形式不變

薛丁格方程為

${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$ ；

其中，$\hbar$是約化普朗克常數，$V(x)$是位勢，$E$是能量。

將波函數$\psi$歸一化為$\psi \,'=A\psi$。則薛丁格方程成為

${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}A{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)$

$\Rightarrow A\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)\right)=A\left(E\psi (x)\right)$

$\Rightarrow {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$。

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程是個不變式，因為薛丁格方程是個線性微分方程式。

一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然$\psi$和$\psi \,'$都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函數，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。

歸一化恆定性

給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數$A$變得含時間．很幸運地，滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數$\psi (x,\ t)$滿足薛丁格方程與歸一條件：

${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}$ ，

$P=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}\psi \ dx=1$；

假若，歸一性是恆定的，則機率$P$不含時間。為了顯示這一點，先計算${\frac {dP}{dt}}$：

${\frac {dP}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t))\ dx$。

展開被積函數

${\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )={\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi +\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$。

編排薛丁格方程，可以得到波函數$\psi$對於時間的偏導數：

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi$。

共軛波函數$\psi ^{*}$對於時間的偏導數為

${\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}$。

將$\psi$與$\psi ^{*}$代入被積函數

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi \right)\\&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\right)\\&=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\\\end{aligned}}$。

代入${\frac {dP}{dt}}$的方程式：

${\frac {dP}{dt}}=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right)\left[\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{\infty }-\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{-\infty }\right]$。

可是，在$x=\pm \infty$，$\psi$與$\psi ^{*}$都等於0 ．所以，

${\frac {dP}{dt}}=0$。

機率$P=1$不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

參考文獻

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

參閱

• 正則變換
• 么正性

外部連結

Middlebury大學講義：歸一化