在量子力學 裏,量子諧振子 (英語:quantum harmonic oscillator )是古典諧振子 的延伸。其為量子力學中數個重要的模型 系統中的一者,因為一任意勢 在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外,其也是少數幾個存在簡單解析解 的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動 。
一維諧振子
能量最低的六個束縛本徵態的波函數表徵(n = 0到7)。橫軸表示位置x 。此圖未經歸一化 。
在一維諧振子問題中,一個質量為m 的粒子,受到一位勢
V
(
x
)
=
1
2
m
ω
2
x
2
{\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}
。此粒子的哈密頓算符 為
H
=
p
2
2
m
+
1
2
m
ω
2
x
2
{\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}
其中x 為位置 算符,而p 為動量 算符
(
p
=
−
i
ℏ
d
d
x
)
{\displaystyle \left(p=-i\hbar {d \over dx}\right)}
。第一項代表粒子動能 ,而第二項代表粒子處在其中的位能 。為了要找到能階 以相對應的能量本徵態,必須解所謂的「定态薛丁格方程式 」:
H
|
ψ
⟩
=
E
|
ψ
⟩
{\displaystyle H\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle }
.
在座標基底下可以解這個微分方程式,用到冪級數 方法。可以見到有一族的解:
⟨
x
|
ψ
n
⟩
=
1
2
n
n
!
⋅
(
m
ω
π
ℏ
)
1
/
4
⋅
exp
(
−
m
ω
x
2
2
ℏ
)
⋅
H
n
(
m
ω
ℏ
x
)
{\displaystyle \left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
最先六個解(n = 0到5)展示在右圖。函數
H
n
{\displaystyle H_{n}}
為埃爾米特多項式 :
H
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
{\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}
注意到不應將之與哈密頓算符搞混,儘管哈密頓算符也標作H 。相應的能階為
E
n
=
ℏ
ω
(
n
+
1
2
)
{\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)}
。
束縛本徵態之機率密度|ψn (x)|² ,從最底部的基態(n = 0)開始,往上能量逐漸增加。橫軸表示位置x ,而較亮的色彩代表較高的機率密度。
值得注意的是能譜,理由有三。首先,能量被「量子化」(quantized),而只能有離散的值——即
ℏ
ω
{\displaystyle \hbar \omega }
乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落,將對此現象做更詳細的檢視。再者,可有的最低能量(當n = 0)不為零,而是
ℏ
ω
/
2
{\displaystyle \hbar \omega /2}
,被稱為「基態能量」或零點能量 。在基態中,根據量子力學,一振子執行所謂的「零振動 」(null oscillations)且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見,因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量,因為可以任意選擇;有意義的是能量差。雖然如此,基態能量有許多的意涵,特別是在量子重力 。最後一個理由式能階值是等距的,不像波耳模型 或盒中粒子 問題那樣。
注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部,合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時,機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points),其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致;古典的描述下,粒子多數時間處在(而更有機會被發現在)轉向點,因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理 。
階梯算符方法
前述的冪級數解雖然直觀,但顯得相當繁複。階梯算符 方法起自保羅·狄拉克 ,允許抽像求得能量本徵值,而不用直接解微分方程式。此外,此法很容易推廣到更複雜的問題,尤其是在量子場論 中。跟從此方法,定義算符a 與其伴隨算符 (adjoint)a † :
a
=
m
ω
2
ℏ
(
x
+
i
m
ω
p
)
a
†
=
m
ω
2
ℏ
(
x
−
i
m
ω
p
)
{\displaystyle {\begin{matrix}a&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x+{i \over m\omega }p\right)\\a^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x-{i \over m\omega }p\right)\end{matrix}}}
算符a 並非厄米算符 (Hermitian),以其與伴隨算符a † 並不相同。
算符a 與a † 有如下性質:
a
|
ϕ
n
⟩
=
n
|
ϕ
n
−
1
⟩
a
†
|
ϕ
n
⟩
=
n
+
1
|
ϕ
n
+
1
⟩
{\displaystyle {\begin{matrix}a\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n}}\left|\phi _{n-1}\right\rangle \\a^{\dagger }\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n+1}}\left|\phi _{n+1}\right\rangle \end{matrix}}}
在推導a † 形式的過程中,已用到算符x 與p (代表可觀測量 )為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合:
x
=
ℏ
2
m
ω
(
a
†
+
a
)
p
=
i
ℏ
m
ω
2
(
a
†
−
a
)
{\displaystyle {\begin{matrix}x&=&{\sqrt {\hbar \over 2m\omega }}\left(a^{\dagger }+a\right)\\p&=&i{\sqrt {{\hbar }m\omega \over 2}}\left(a^{\dagger }-a\right)\end{matrix}}}
x 與p 算符遵守下面的等式,稱之為正則對易關係 :
[
x
,
p
]
=
i
ℏ
{\displaystyle \left[x,p\right]=i\hbar }
.
方程式中的方括號是常用的標記機器,稱為交換子 、交換算符 或對易算符 ,其定義為
[
A
,
B
]
=
d
e
f
A
B
−
B
A
{\displaystyle \left[A,B\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AB-BA}
.
利用上面關係,可以證明如下等式:
H
=
ℏ
ω
(
a
†
a
+
1
/
2
)
{\displaystyle H=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+1/2\right)}
[
a
,
a
†
]
=
1
{\displaystyle \left[a,a^{\dagger }\right]=1}
.
現在,讓
|
ψ
E
⟩
{\displaystyle \left|\psi _{E}\right\rangle }
代表帶有能量E 的能量本徵態。任何右括向量(ket)與自身的內積必須是非負值,因此
(
a
|
ψ
E
⟩
,
a
|
ψ
E
⟩
)
=
⟨
ψ
E
|
a
†
a
|
ψ
E
⟩
≥
0
{\displaystyle \left(a\left|\psi _{E}\right\rangle ,a\left|\psi _{E}\right\rangle \right)=\left\langle \psi _{E}\right|a^{\dagger }a\left|\psi _{E}\right\rangle \geq 0}
。
將a † a 以哈密頓算符表示:
⟨
ψ
E
|
H
ℏ
ω
−
1
2
|
ψ
E
⟩
=
(
E
ℏ
ω
−
1
2
)
≥
0
{\displaystyle \left\langle \psi _{E}\right|{H \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\left|\psi _{E}\right\rangle =\left({E \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\right)\geq 0}
,
因此
E
≥
ℏ
ω
/
2
{\displaystyle E\geq \hbar \omega /2}
。注意到當(
a
|
ψ
E
⟩
{\displaystyle a\left|\psi _{E}\right\rangle }
)為零右括向量(亦即:長度為零的右括向量),則不等式飽和而
E
=
ℏ
ω
/
2
{\displaystyle E=\hbar \omega /2}
。很直觀地,可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態(n = 0)。
利用上面等式,可以指出a 及a † 與H 的對易關係:
[
H
,
a
]
=
−
ℏ
ω
a
[
H
,
a
†
]
=
ℏ
ω
a
†
{\displaystyle {\begin{matrix}\left[H,a\right]&=&-\hbar \omega a\\\left[H,a^{\dagger }\right]&=&\hbar \omega a^{\dagger }\end{matrix}}}
.
因此要是(
a
|
ψ
E
⟩
{\displaystyle a\left|\psi _{E}\right\rangle }
)並非零右括向量,
H
(
a
|
ψ
E
⟩
)
=
(
[
H
,
a
]
+
a
H
)
|
ψ
E
⟩
=
(
−
ℏ
ω
a
+
a
E
)
|
ψ
E
⟩
=
(
E
−
ℏ
ω
)
(
a
|
ψ
E
⟩
)
{\displaystyle {\begin{matrix}H(a\left|\psi _{E}\right\rangle )&=&(\left[H,a\right]+aH)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(-\hbar \omega a+aE)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(E-\hbar \omega )(a\left|\psi _{E}\right\rangle )\end{matrix}}}
.
類似地,也可以指出
H
(
a
†
|
ψ
E
⟩
)
=
(
E
+
ℏ
ω
)
(
a
†
|
ψ
E
⟩
)
{\displaystyle H(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )=(E+\hbar \omega )(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )}
.
換句話說,a 作用在能量為E 的本徵態,而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為
E
−
ℏ
ω
{\displaystyle E-\hbar \omega }
的本徵態,而a † 作用在能量為E 的本徵態,產生出另一個能量為
E
+
ℏ
ω
{\displaystyle E+\hbar \omega }
的本徵態。因為這樣,a 稱作降算符 而a † 稱作升算符 。兩者合稱階梯算符 。在量子場論 中,a 與a † 也分別稱作消滅算符 與創生算符 ,以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。
給定任何能量本徵態,可以拿降算符a 作用在其上,產生了另一個能量少了
ℏ
ω
{\displaystyle \hbar \omega }
的本徵態。重複使用降算符,似乎可以產生能量本徵態其能量低到E = −∞。不過這樣就就與早先的要求
E
≥
ℏ
ω
/
2
{\displaystyle E\geq \hbar \omega /2}
相違背。因此,必須有一最底的能量本徵態——基態,標示作
|
0
⟩
{\displaystyle \left|0\right\rangle }
(勿與零右括向量混淆),使得
a
|
0
⟩
=
0
{\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}
(即a 對
|
0
⟩
{\displaystyle \left|0\right\rangle }
作用後產生零右括向量(zero ket))。
在這情況下,繼續使用降算符只會產生零右括向量,而不是產生額外的能量本徵態。此外,還指出了
H
|
0
⟩
=
(
ℏ
ω
/
2
)
|
0
⟩
{\displaystyle H\left|0\right\rangle =(\hbar \omega /2)\left|0\right\rangle }
。
最後,透過將升算符作用在
|
0
⟩
{\displaystyle \left|0\right\rangle }
上,並且乘上適當的歸一化 因子,可以產生出一個能量本徵態的無限集合
{
|
0
⟩
,
|
1
⟩
,
|
2
⟩
,
.
.
.
,
|
n
⟩
,
.
.
.
}
{\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,...,\left|n\right\rangle ,...\right\}}
使得
H
|
n
⟩
=
ℏ
ω
(
n
+
1
/
2
)
|
n
⟩
{\displaystyle H\left|n\right\rangle =\hbar \omega (n+1/2)\left|n\right\rangle }
,這與前段所給的能 譜相符合。
這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態,
a
|
0
⟩
=
0
{\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}
變為
x
ψ
0
(
x
)
+
ℏ
m
ω
d
ψ
0
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle x\psi _{0}(x)+{\frac {\hslash }{m\omega }}{\frac {d\psi _{0}(x)}{dx}}=0}
。
所以,
d
ln
ψ
0
(
x
)
d
x
=
−
ℏ
m
ω
x
+
Constant
{\displaystyle {\frac {d\ln \psi _{0}(x)}{dx}}=-{\frac {\hslash }{m\omega }}x+{\text{ Constant}}}
。
這個方程式的解為,經過歸一化,
ψ
0
(
x
)
=
(
m
ω
π
ℏ
)
1
4
e
−
m
ω
x
2
/
2
ℏ
{\displaystyle \psi _{0}(x)=\left({m\omega \over \pi \hbar }\right)^{1 \over 4}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar }}
。
自然長度與能量尺度
量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度,可以用來簡化問題。這可以透過無因次化 來得到。結果是如果以
ℏ
ω
{\displaystyle \hbar \omega }
為單位來測量能量 ,以及
(
ℏ
/
(
m
ω
)
)
1
/
2
{\displaystyle \left(\hbar /\left(m\omega \right)\right)^{1/2}}
為單位來測量距離 ,則薛丁格方程式 變成:
H
=
−
1
2
d
2
d
u
2
+
1
2
u
2
{\displaystyle H=-{1 \over 2}{d^{2} \over du^{2}}+{1 \over 2}u^{2}}
,
且能量本徵態與本徵值變成
⟨
x
|
ψ
n
⟩
=
1
2
n
n
!
π
−
1
/
4
exp
(
−
u
2
/
2
)
H
n
(
u
)
{\displaystyle \left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}\pi ^{-1/4}{\hbox{exp}}(-u^{2}/2)H_{n}(u)}
E
n
=
n
+
1
2
{\displaystyle E_{n}=n+{1 \over 2}}
.
為了避免混淆,在此文中不採用這些自然單位。不過,這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被運用到。
案例:雙原子分子
在雙原子分子中,自然頻率可以發現為[1] :
ω
=
k
m
r
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m_{r}}}}}
其中
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
為角頻率,
k 是共價鍵勁度係數
m
r
{\displaystyle m_{r}}
是約化質量 。
N
{\displaystyle N}
維諧振子
一維諧振子很容易地推廣到
N
{\displaystyle N}
維。在一維中,粒子的位置是由單一座標 x 來指定的。在
N
{\displaystyle N}
維中,這由
N
{\displaystyle N}
個位置座標所取代,以
x
1
,
x
2
,
…
,
x
N
{\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}}
標示。對應每個位置座標有個動量 ,標示為p 1 , ..., p N 。這些算符之間的正則對易關係 為
[
x
i
,
p
j
]
=
i
ℏ
δ
i
,
j
[
x
i
,
x
j
]
=
0
[
p
i
,
p
j
]
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}\left[x_{i},p_{j}\right]&=&i\hbar \delta _{i,j}\\\left[x_{i},x_{j}\right]&=&0\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=&0\end{matrix}}}
.
系統的哈密頓算符 為
H
=
∑
i
=
1
N
(
p
i
2
2
m
+
1
2
m
ω
2
x
i
2
)
{\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right)}
。
從這個哈密頓量的形式,可以發覺,
N
{\displaystyle N}
維諧振子明確地可比擬為
N
{\displaystyle N}
個質量相同,彈性常數 相同,獨立的一維諧振子。在這案例裏,變數
x
1
,
x
2
,
…
,
x
N
{\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}}
是
N
{\displaystyle N}
個粒子的位置坐標。這是反平方 連心位勢 的一個優良的特性,允許位勢被分離為
N
{\displaystyle N}
個項目,每一個項目只跟一個位置坐標有關。
這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數
{
n
}
{\displaystyle \{n\}}
,一個
N
{\displaystyle N}
維諧振子的能量本徵函數
⟨
x
|
ψ
{
n
}
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle }
等於
N
{\displaystyle N}
個一維本徵函數
⟨
x
i
|
ψ
n
i
⟩
{\displaystyle \langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle }
的乘積:
⟨
x
|
ψ
{
n
}
⟩
=
∏
i
=
1
N
⟨
x
i
|
ψ
n
i
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle }
。
採用階梯算符方法,定義
N
{\displaystyle N}
組階梯算符 ,
a
i
=
m
ω
2
ℏ
(
x
i
+
i
m
ω
p
i
)
{\displaystyle a_{i}={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right)}
,
a
i
†
=
m
ω
2
ℏ
(
x
i
−
i
m
ω
p
i
)
{\displaystyle a_{i}^{\dagger }={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right)}
。
類似前面所述的一維諧振子案例,可以證明每一個
a
i
{\displaystyle a_{i}}
與
a
i
†
{\displaystyle a_{i}^{\dagger }}
算符將能量分別降低或升高
ℏ
ω
{\displaystyle \hbar \omega }
。哈密頓量是
H
=
ℏ
ω
∑
i
=
1
N
(
a
i
†
a
i
+
1
2
)
{\displaystyle H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right)}
。
這量子系統的能階
E
{\displaystyle E}
是
E
=
ℏ
ω
[
(
n
1
+
⋯
+
n
N
)
+
N
2
]
{\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right]}
;
其中,正整數
n
i
{\displaystyle n_{i}}
是
|
ψ
n
i
⟩
{\displaystyle |\psi _{n_{i}}\rangle }
的量子數。
如同一維案例,能量是量子化的。
N
{\displaystyle N}
維基態 能階 是一維基態能階的
N
{\displaystyle N}
倍。只有一點不同,在一維案例裏,每一個能階對應於一個單獨的量子態。在
N
{\displaystyle N}
維案例裏,除了底態能階以外,每一個能階都是簡併 的,都對應於多個量子態。
簡併度可以很容易地計算出來。例如,思考三維案例,設定
n
=
n
1
+
n
2
+
n
3
{\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+n_{3}}
。每一個
n
{\displaystyle n}
相同的量子態,都會擁有相同的能量。給予
n
{\displaystyle n}
,首先選擇一個
n
1
{\displaystyle n_{1}}
。那麼,
n
2
+
n
3
=
n
−
n
1
{\displaystyle n_{2}+n_{3}=n-n_{1}}
,有
n
−
n
1
+
1
{\displaystyle n-n_{1}+1}
個值,從
0
{\displaystyle 0}
到
n
−
n
1
{\displaystyle n-n_{1}}
,可以選擇為
n
2
{\displaystyle n_{2}}
的值。
n
3
{\displaystyle n_{3}}
的值自動的設定為
n
−
n
1
−
n
2
{\displaystyle n-n_{1}-n_{2}}
。因此,簡併度是
d
n
=
∑
n
1
=
0
n
n
−
n
1
+
1
=
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
2
{\displaystyle d_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}
。
對於
N
{\displaystyle N}
維案例,
d
n
=
(
N
+
n
−
1
n
)
{\displaystyle d_{n}={\binom {N+n-1}{n}}}
。
案例:三維均向諧振子
參閱三維均向諧振子
球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法 來求解。這方法類似於氫原子 問題裏的方法,只有球對稱位勢 不一樣:
V
(
r
)
=
1
2
μ
ω
2
r
2
{\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2}}
;
其中,
μ
{\displaystyle \mu }
是這問題的質量。由於
m
{\displaystyle m}
會被用來標記磁量子數 ,所以,用
μ
{\displaystyle \mu }
來標記質量。
這問題的薛丁格方程式 為
−
ℏ
2
2
μ
∇
2
ψ
+
1
2
μ
ω
2
r
2
ψ
=
E
ψ
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +{1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2}\psi =E\psi }
。
薛丁格方程式的全部解答寫為
ψ
k
l
m
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
N
k
l
r
l
e
−
ν
r
2
L
k
(
l
+
1
2
)
(
2
ν
r
2
)
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}{L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )}
;
其中,
N
k
l
=
2
ν
3
π
2
k
+
2
l
+
3
k
!
ν
l
(
2
k
+
2
l
+
1
)
!
!
{\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}}
是歸一常數,
ν
≡
μ
ω
2
ℏ
{\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }}
L
k
(
l
+
1
2
)
(
2
ν
r
2
)
{\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})}
是
k
{\displaystyle k}
階廣義拉格耳多項式 (generalized Laguerre polynomials ),
k
{\displaystyle k}
是個正整數,
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}
是球諧函數 ,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是約化普朗克常數 。
能量本徵值是
E
=
ℏ
ω
(
2
k
+
l
+
3
2
)
{\displaystyle E=\hbar \omega (2k+l+{3 \over 2})}
。
能量通常可以用一個量子數
n
{\displaystyle n}
來描述:
n
≡
2
k
+
l
{\displaystyle n\equiv 2k+l}
。
由於
k
{\displaystyle k}
是個正整數,假若
n
{\displaystyle n}
是偶數,那麼,角量子數也是偶數:
l
=
0
,
2
,
…
,
n
−
2
,
n
{\displaystyle l=0,\,2,\,\dots ,\,n-2,\,n}
;
假若
n
{\displaystyle n}
是奇數,那麼,角量子數也是奇數:
l
=
1
,
3
,
…
,
n
−
2
,
n
{\displaystyle l=1,\,3,\,\dots ,\,n-2,\,n}
。
磁量子數
m
{\displaystyle m}
滿足不等式
−
l
≤
m
≤
l
{\displaystyle -l\leq m\leq l}
。
對於每一個
n
{\displaystyle n}
與
l
{\displaystyle l}
,存在
2
l
+
1
{\displaystyle 2l+1}
個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數
m
{\displaystyle m}
。因此,
n
{\displaystyle n}
的兼併度是
∑
l
=
i
,
i
+
2
,
…
,
n
−
2
,
n
(
2
l
+
1
)
=
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
2
{\displaystyle \sum _{l=i,\,i+2,\,\ldots ,\,n-2,\,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}}
;
其中,總和的指數
l
{\displaystyle l}
的初始值是
i
=
n
m
o
d
2
{\displaystyle i=n\ mod\ 2}
。
這結果與先前的方程式相同。
耦合諧振子
兩個質點的耦合諧振子
設想
N
{\displaystyle N}
個相同質量的質點,以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為
x
1
,
x
2
,
…
,
x
N
{\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}}
(也就是說,假若一個質點
k
{\displaystyle k}
位於其平衡點,則
x
k
=
0
{\displaystyle x_{k}=0}
)。整個系統的哈密頓量是
H
=
∑
i
=
1
N
p
i
2
2
m
+
1
2
m
ω
2
∑
1
≤
i
≤
N
(
x
i
−
x
i
−
1
)
2
{\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{1\leq i\leq N}(x_{i}-x_{i-1})^{2}}
;
其中,
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
。
很奇妙地,這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子,每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格 集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質,稱為聲子 。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固體物理學 裏,這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。
參閱
參考文獻
Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7 .
Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8 .
外部連結