伴随勒让德多项式：修订间差异

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2012年11月10日 (六) 11:46的版本

伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼：

(1-x^{2})\,{\frac {d^{2}\,y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0

该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。

因上述方程仅当 $\ell$ 和 $m\,$ 均为整数且满足 $0\leq m\leq \ell$ 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 $\ell$ 和 $m\,$ 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 $\ell$ 和/或 $m\,$ 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。

当 $m\,=0$ 、 $\ell$ 为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。

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 :<math>(1-x^2)\,\frac{d^2\,y}{dx^2} -2x\frac{dy}{dx} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0</math>
 该方程是在[[球坐标系]]下求解[[拉普拉斯方程]]时得到的，在数学和[[理论物理学]]中有重要的意义。
+[[File:Associated Legendre Poly.svg|thumb|500px|Associated Legendre polynomial curves for l=5.]]
 因上述方程仅当 <math>\ell</math> 和 <math>m\,</math> 均为[[整数]]且满足 <math>0 \le m \le \ell</math> 时，才在区间 [&minus;1,&nbsp;1] 上有非奇异解，所以通常把 <math>\ell</math> 和 <math>m\,</math> 均为整数时方程的解称为'''伴随勒让德多项式'''；把 <math>\ell</math> 和/或 <math>m\,</math> 为一般[[实数]]或[[复数]]时方程的解称为'''广义勒让德函数'''（'''generalized Legendre functions'''）。