量子諧振子:修订间差异
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在[[量子力學]]裏,'''量子諧振子'''({{lang-en|'''quantum harmonic oscillator'''}})是[[諧振子|古典諧振子]]的延伸。其為量子力學中數個重要的[[模型]]系統中的一者,因為一任意[[勢能|勢]]在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外,其也是少數幾個存在簡單[[解析解]]的量子系統。量子諧振子可用來近似描述[[分子振動]]。 |
在[[量子力學]]裏,'''量子諧振子'''({{lang-en|'''quantum harmonic oscillator'''}})是[[諧振子|古典諧振子]]的延伸。其為量子力學中數個重要的[[模型]]系統中的一者,因為一任意[[勢能|勢]]在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外,其也是少數幾個存在簡單[[解析解]]的量子系統。量子諧振子可用來近似描述[[分子振動]]。 |
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== 一維諧振子 == |
== 一維諧振子 == |
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=== 哈密頓算符與能量[[本徵態]] |
=== 哈密頓算符與能量[[本徵態]] === |
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[[File:HarmOsziFunktionen.png|thumb|250px|能量最低的八個束縛本徵態的波函數表徵(''n'' = 0到7)。橫軸表示位置''x''。此圖未經[[歸一化]]。]] |
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在一維諧振子問題中,一個質量為''m''的粒子,受到一位勢<math>V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2</math>。此粒子的[[哈密頓算符]]為 |
在一維諧振子問題中,一個質量為''m''的粒子,受到一位勢<math>V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2</math>。此粒子的[[哈密頓算符]]為 |
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:<math> n = 0, 1, 2, \ldots</math> |
:<math> n = 0, 1, 2, \ldots</math> |
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前8个解(''n'' = 0到7)如右圖。函數<math>H_n</math>為[[埃爾米特多項式]]: |
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:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math> |
:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math> |
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[[File:QHarmonicOscillator.png|thumb|200px|束縛本徵態之機率密度''<nowiki>|</nowiki>ψ<sub>n</sub>(x)<nowiki>|</nowiki>²'',從最底部的基態(''n'' = 0)開始,往上能量逐漸增加。橫軸表示位置''x'',而較亮的色彩代表較高的機率密度。]] |
[[File:QHarmonicOscillator.png|thumb|200px|束縛本徵態之機率密度''<nowiki>|</nowiki>ψ<sub>n</sub>(x)<nowiki>|</nowiki>²'',從最底部的基態(''n'' = 0)開始,往上能量逐漸增加。橫軸表示位置''x'',而較亮的色彩代表較高的機率密度。]] |
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值得注意的是能譜,理由有三。首先,能量被「量子化」(quantized),而只能有離散的值——即<math>\hbar\omega</math>乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落,將對此現象做更詳細的檢視。再者,可有的最低能量(當''n'' = 0)不為零,而是<math>\hbar\omega/2</math>,被稱為「基態能量」或[[零點能量]]。在基態中,根據量子力學,一振子執行所謂的「[[零振動]]」(null oscillations)且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見,因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量,因為可以任意選擇;有意義的是能量差。雖然如此,基態能量有許多的意涵,特別是在[[量子重力]]。最後一個理由 |
值得注意的是能譜,理由有三。首先,能量被「量子化」(quantized),而只能有離散的值——即<math>\hbar\omega</math>乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落,將對此現象做更詳細的檢視。再者,可有的最低能量(當''n'' = 0)不為零,而是<math>\hbar\omega/2</math>,被稱為「基態能量」或[[零點能量]]。在基態中,根據量子力學,一振子執行所謂的「[[零振動]]」(null oscillations)且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見,因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量,因為可以任意選擇;有意義的是能量差。雖然如此,基態能量有許多的意涵,特別是在[[量子重力]]。最後一個理由為能階值是等距的,不像[[波耳模型]]或[[盒中粒子]]問題那樣。 |
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注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部,合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時,機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points),其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致;古典的描述下,粒子多數時間處在(而更有機會被發現在)轉向點,因為在此處粒子速度最慢。因此滿足[[對應原理]]。 |
注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部,合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時,機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points),其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致;古典的描述下,粒子多數時間處在(而更有機會被發現在)轉向點,因為在此處粒子速度最慢。因此滿足[[對應原理]]。 |
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=== 階梯算符方法 === |
=== 階梯算符方法 === |
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前述的 |
前述的冪級數解雖然直觀,但顯得相當繁複。[[階梯算符]]方法起自[[保羅·狄拉克]],允許抽像求得能量本徵值,而不用直接解微分方程式。此外,此法很容易推廣到更複雜的問題,尤其是在[[量子場論]]中。跟從此方法,定義算符''a''與其[[伴隨算符]](adjoint)''a''<sup>†</sup>: |
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:<math>\begin{matrix} |
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\end{matrix}</math> |
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算符''a''並非[[厄米算符]](Hermitian), |
算符''a''並非[[厄米算符]](Hermitian),因其與伴隨算符''a''<sup>†</sup>並不相同。 |
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算符''a''與''a''<sup>†</sup>有如下性質: |
算符''a''與''a''<sup>†</sup>有如下性質: |
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:<math>H \left|0\right\rangle =(\hbar\omega/2)\left|0\right\rangle</math>。 |
:<math>H \left|0\right\rangle =(\hbar\omega/2)\left|0\right\rangle</math>。 |
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最後,透過將升算符作用在<math>\left| 0 \right \rangle</math>上,並且乘上適當的[[歸一化]]因子,可以產生出一個能量本徵態的無限[[集合]]<math>\left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\}</math>使得 |
最後,透過將升算符作用在<math>\left| 0 \right \rangle</math>上,並且乘上適當的[[歸一化]]因子,可以產生出一個能量本徵態的無限[[集合 (数学)|集合]]<math>\left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\}</math>使得 |
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:<math> H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle </math>,這與前段所給的[[能量|能]]譜相符合。 |
:<math> H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle </math>,這與前段所給的[[能量|能]]譜相符合。 |
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{{main|雙原子分子}} |
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在雙原子分子中,自然頻率可以發現為[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html]: |
在雙原子分子中,自然頻率可以發現為[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html] {{Wayback|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html |date=20210416152125 }}: |
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:<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m_r}} </math> |
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其中 |
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==N維諧振子 == |
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一維諧振子很容易地推廣到<math>N</math>維。在一維中,粒子的位置是由單一[[座標]]''x''來指定的。在<math>N</math>維中,這由<math>N</math>個位置座標所取代,以<math>x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N</math>標示。對應每個位置座標有個[[動量]],標示為''p''<sub>1</sub>, ..., ''p''<sub>''N''</sub>。這些算符之間的[[正則對易關係]]為 |
一維諧振子很容易地推廣到<math>N</math>維。在一維中,粒子的位置是由單一[[座標]]''x''來指定的。在<math>N</math>維中,這由<math>N</math>個位置座標所取代,以<math>x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N</math>標示。對應每個位置座標有個[[動量]],標示為''p''<sub>1</sub>, ..., ''p''<sub>''N''</sub>。這些算符之間的[[正則對易關係]]為 |
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:<math>{L_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2)</math>是<math>k</math>階[[拉盖尔多项式#广义拉盖尔多项式|广义拉盖尔多项式]] ({{lang|en|generalized Laguerre polynomials}}),<math>k</math>是個正整數, |
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:<math>Y_{lm}(\theta,\phi)\,</math>是[[球諧函數]], |
:<math>Y_{lm}(\theta,\phi)\,</math>是[[球諧函數]], |
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:<math>\hbar</math>是[[約化普朗克常數]]。 |
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其中,<math>x_0=0</math>。 |
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這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子,每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的[[晶格]]集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質,稱為[[聲子]]。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在[[固態物理學]]裏,這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。 |
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== 參考文獻 == |
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== 外部連結 == |
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* [[國立交通大學]]物理系視聽教學:[http://140.113.8.88/pub/pubdrm/qm961/320k/961121.wmv 量子諧振子] |
* [[國立交通大學]]物理系視聽教學:[http://140.113.8.88/pub/pubdrm/qm961/320k/961121.wmv 量子諧振子]{{dead link|date=2018年4月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} |
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* [[喬治亞州州立大學]]({{lang|en|Georgia State University}})線上物理網頁:[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html 量子諧振子] |
* [[喬治亞州州立大學]]({{lang|en|Georgia State University}})線上物理網頁:[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html 量子諧振子] {{Wayback|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html |date=20210416152125 }} |
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2023年8月15日 (二) 10:10的最新版本
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量子力学 |
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在量子力學裏,量子諧振子(英語:quantum harmonic oscillator)是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者,因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外,其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。
一維諧振子
[编辑]在一維諧振子問題中,一個質量為m的粒子,受到一位勢。此粒子的哈密頓算符為
其中x為位置算符,而p為動量算符。第一項代表粒子動能,而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態,必須解所謂的「定态薛丁格方程式」:
- .
在座標基底下可以解這個微分方程式,用到冪級數方法。可以見到有一族的解:
前8个解(n = 0到7)如右圖。函數為埃爾米特多項式:
注意到不應將之與哈密頓算符搞混,儘管哈密頓算符也標作H。相應的能階為
- 。
值得注意的是能譜,理由有三。首先,能量被「量子化」(quantized),而只能有離散的值——即乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落,將對此現象做更詳細的檢視。再者,可有的最低能量(當n = 0)不為零,而是,被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中,根據量子力學,一振子執行所謂的「零振動」(null oscillations)且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見,因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量,因為可以任意選擇;有意義的是能量差。雖然如此,基態能量有許多的意涵,特別是在量子重力。最後一個理由為能階值是等距的,不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。
注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部,合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時,機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points),其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致;古典的描述下,粒子多數時間處在(而更有機會被發現在)轉向點,因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。
階梯算符方法
[编辑]前述的冪級數解雖然直觀,但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克,允許抽像求得能量本徵值,而不用直接解微分方程式。此外,此法很容易推廣到更複雜的問題,尤其是在量子場論中。跟從此方法,定義算符a與其伴隨算符(adjoint)a†:
算符a並非厄米算符(Hermitian),因其與伴隨算符a†並不相同。
算符a與a†有如下性質:
在推導a†形式的過程中,已用到算符x與p(代表可觀測量)為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合:
x與p算符遵守下面的等式,稱之為正則對易關係:
- .
方程式中的方括號是常用的標記機器,稱為交換子、交換算符或對易算符,其定義為
- .
利用上面關係,可以證明如下等式:
- .
現在,讓代表帶有能量E的能量本徵態。任何右括向量(ket)與自身的內積必須是非負值,因此
- 。
將a†a以哈密頓算符表示:
- ,
因此。注意到當()為零右括向量(亦即:長度為零的右括向量),則不等式飽和而。很直觀地,可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態(n = 0)。
利用上面等式,可以指出a及a†與H的對易關係:
- .
因此要是()並非零右括向量,
- .
類似地,也可以指出
- .
換句話說,a作用在能量為E的本徵態,而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 的本徵態,而a†作用在能量為E的本徵態,產生出另一個能量為的本徵態。因為這樣,a稱作降算符而a†稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中,a與a†也分別稱作消滅算符與創生算符,以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。
給定任何能量本徵態,可以拿降算符a作用在其上,產生了另一個能量少了的本徵態。重複使用降算符,似乎可以產生能量本徵態其能量低到E = −∞。不過這樣就就與早先的要求相違背。因此,必須有一最底的能量本徵態——基態,標示作(勿與零右括向量混淆),使得
- (即a對作用後產生零右括向量(zero ket))。
在這情況下,繼續使用降算符只會產生零右括向量,而不是產生額外的能量本徵態。此外,還指出了
- 。
最後,透過將升算符作用在上,並且乘上適當的歸一化因子,可以產生出一個能量本徵態的無限集合使得
- ,這與前段所給的能譜相符合。
這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態,變為
- 。
所以,
- 。
這個方程式的解為,經過歸一化,
- 。
自然長度與能量尺度
[编辑]量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度,可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以為單位來測量能量,以及為單位來測量距離,則薛丁格方程式變成:
- ,
且能量本徵態與本徵值變成
- .
為了避免混淆,在此文中不採用這些自然單位。不過,這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。
案例:雙原子分子
[编辑]在雙原子分子中,自然頻率可以發現為[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆):
其中
N維諧振子
[编辑]一維諧振子很容易地推廣到維。在一維中,粒子的位置是由單一座標x來指定的。在維中,這由個位置座標所取代,以標示。對應每個位置座標有個動量,標示為p1, ..., pN。這些算符之間的正則對易關係為
- .
系統的哈密頓算符為
- 。
從這個哈密頓量的形式,可以發覺,維諧振子明確地可比擬為個質量相同,彈性常數相同,獨立的一維諧振子。在這案例裏,變數是個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性,允許位勢被分離為個項目,每一個項目只跟一個位置坐標有關。
這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數,一個維諧振子的能量本徵函數等於個一維本徵函數的乘積:
- 。
採用階梯算符方法,定義組階梯算符,
- ,
- 。
類似前面所述的一維諧振子案例,可以證明每一個與算符將能量分別降低或升高。哈密頓量是
- 。
這量子系統的能階是
- ;
其中,正整數是的量子數。
如同一維案例,能量是量子化的。維基態能階是一維基態能階的倍。只有一點不同,在一維案例裏,每一個能階對應於一個單獨的量子態。在維案例裏,除了底態能階以外,每一個能階都是簡併的,都對應於多個量子態。
簡併度可以很容易地計算出來。例如,思考三維案例,設定。每一個相同的量子態,都會擁有相同的能量。給予,首先選擇一個。那麼,,有個值,從到,可以選擇為的值。的值自動的設定為。因此,簡併度是
- 。
對於維案例,
- 。
案例:三維均向諧振子
[编辑]- 參閱三維均向諧振子
球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法,只有球對稱位勢不一樣:
- ;
其中,是這問題的質量。由於會被用來標記磁量子數,所以,用來標記質量。
這問題的薛丁格方程式為
- 。
薛丁格方程式的全部解答寫為
- ;
其中,
能量本徵值是
- 。
能量通常可以用一個量子數來描述:
- 。
由於是個正整數,假若是偶數,那麼,角量子數也是偶數:
- ;
假若是奇數,那麼,角量子數也是奇數:
- 。
磁量子數滿足不等式
- 。
對於每一個與,存在個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數。因此,的兼併度是
- ;
其中,總和的指數的初始值是。
這結果與先前的方程式相同。
耦合諧振子
[编辑]設想個相同質量的質點,以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為(也就是說,假若一個質點位於其平衡點,則)。整個系統的哈密頓量是
- ;
其中,。
這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子,每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質,稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裏,這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。
參閱
[编辑]參考文獻
[编辑]- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
- Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8.