Primanumaleset

In numateor, primanumaleset (PNL) bepenon kondöti zaik, lasümptotik primanumas.

Spikölo no kuratiko, primanumaleset steton, das, if väloy ma fäd numi nilü num gretik N, mög, das num pevälöl binon primanum, leigon zao ko 1/ln N, kö el ln N malon logariti natik ela N. Samo, nilü N = 10.000, num za bal se zöls binon primanum; nilü N = 1.000.000.000, te num bal se teldegbals binon primanum.

Me vöds votik, primanums nesuvöfikons maä betikoy numis ai gretikumis, e primanumaleset bepenon kuratiko modi nesuvöfikama at.

Leset

Leigod bevü els π(x) (blöv), x / ln x (grün) e Li(x) (red).

Büolasumobsöd, das el π(x) binon numamasekät primanumas, o.b. sekät, kel givon numi primanumas läs ka, u leigölas ko, el x, if el x binon num jenöfik seimik. As sam, π(10) = 4 bi dabinons primanums fol (2, 3, 5, 7) läs ka, ü leigöls ko, el 10. Primanumaleset lesagon täno, das miedot müedota sekätas tel: π(x) e x / ln (x) du el x nilikon nenfine binon 1. Gebölo penamamodi hiela Landau, sek at kanon papenön as:

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$.

Küpälolös, das atos no sinifon, das miedot näedota sekätas tel, du el x nilikon nenfine, binon ser.

Stabü taibs hielas Anton Felkel e Jurij Vega, leset at päniludon fa hiel Adrien-Marie Legendre ün 1796, e päblöfon nensekidiko fa hiel Jacques Hadamard e hiel Charles de la Vallée-Poussin ün 1896. Blöfam matematik gebon metodis dileta komplitik, pato sekäti „zeta“ hiela Riemann.

Numamasekät primanumas stabü lintegral logaritik

Hiel Carl Friedrich Gauss äniludom, das nilikam nog gudikum ele π(x) pagivon dub lintegralasekät logaritik Li(x), pamiedetöl as:

${\mbox{Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,{\mbox{d}}t={\mbox{li}}(x)-{\mbox{li}}(2).$

Lintegral at vo tikodükon, das „densit“ primanumas zü t muton binön 1/ln t. Sekät at tefon logariti medü stäänükam asümptotik:

${\mbox{Li}}(x)={\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}={\frac {x}{\ln x}}+{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\ln x)^{3}}}+\cdots$

Klu primanumaleset kanon papenön i π(x) ~ Li(x). Frut fomama at binon notod smalikum pöka. Ibo klülos se blöfam hielas Hadamard e de la Vallée Poussin, das:

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\mbox{as }}x\to \infty$

pro num positik semik a, kö O(...) binon penamamod hiela Landau. Atos pegudükumon ad:

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\,\exp \left(-{\frac {A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}}}\right)\right).$

Kodü tef vü sekät „zeta“ ela Riemann ed el π(x), nilud ela Riemann labon veüti gretik pro numateor: if pablüfonöv, givonöv täxeti gudikum pöka pö primanumaleset, ka ut, kel anu gebidon. Kuratikumo, hiel Helge von Koch äjonom ün 1901, das, if e te if nilud ela Riemann veraton, pök in tef löpo pemäniotöl kanon pagudükumön ad:

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right).$

Num: a in el O gretik pätäxeton ün 1976 fa hiel Lowell Schoenfeld (if lasumoy niludi ela Riemann) as:

$|\pi (x)-{\rm {Li}}(x)|<{\frac {{\sqrt {x}}\,\ln x}{8\pi }}$

pro els x valik ≥ 2657. Ätüvom i miedoti sümik pro numamasekät primanumas hiela Chebyshev ψ:

$|\psi (x)-x|<{\frac {{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}x}{8\pi }}$

pro els x valik ≥ 73.2.

Lintegral logaritik Li(x) binon gretikum ka π(x) pro els x „smalik“. Ün 1914 ye hiel J. E. Littlewood äblöfom, das atos no ai veraton. Völad balid ela x, pö kel π(x) pluons tefü el Li(x) binon zao x = 10³¹⁶ (l. yegedi dö num hiela Skewes pro pats pluik).

Säk dö „dibät“

In laf balid tumyela 20id, matematans anik äsenälons, das dabinon nivodaleod metodas matematik, e das primanumaleset binon leset „dibätik“, kela blöfam flagons dileti komplitik. Metods gebü te sekäts jenöfik päcedons nefägikis. Hiel G. H. Hardy äbinon liman famik grupa at.

Kred at boso äsmalikumon sekü blöfam primanumaleseta stabü leset hiela Norbert Wiener dö leset hiela Tauber, do ämögos ad vüdön säkädi ägevölo lesete hiela Wiener „dibäti“ sümik ad ut dileta komplitik. Hiels Paul Erdős e Atle Selberg ye ätuvoms blöfami „balugik“ primanumaleseta, kel gebon te metodis numateora. Vobot elas Selberg e Erdős ibo äseilükon lesagis dö „dibät“ äjonölo, das metods „balugik“ (ön jenet at, metods yümätavik) äbinons fägikum, kas spetoy. Poso pub „sibametodas“ äjonon, das metods at älabons rouli fümik in teor primanumas.

Avigad et al. 2005 keninükon fomami blöfama at pefümodöl medü nünömaprograms in „teorodiblöfian Isabelle“.

Primanumaleset pro progedasökods kalkulavik

El $\pi _{n,a}(x)$ malonöd numi primanumas in progedasökod kalkulavik a, a + n, a + 2n, a + 3n, … läs ka x. Hiels Dirichlet e Legendre äniludoms, ed el Vallée Poussin äblöfom, das, if a e n binons keprimanums, tän:

$\pi _{n,a}(x)\sim {\frac {1}{\phi (n)}}\mathrm {Li} (x),$

kö el φ(·) binon sekät totienik ela Euler. Me vöds votik, primanums padilons leigöfiko bevü klads bliböl [a] modulo n, binölo gcd(a, n) = 1.

Mieds numamasekäta primanumas

Primanumaleset binon sek lasümptotik. Kludo no kanon pagebön ad miedükön eli π(x).

Mieds anik pro el π(x) sevädons, as sam:

${\frac {x}{\ln x}}<\pi (x)<1.25506\,{\frac {x}{\ln x}}$

Neleig balid veraton pro els x ≥ 17, e telid pro el x > 1.

Meid frutik votik binon:

${\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}\quad {\mbox{for }}x\geq 55$

Nilikams primanume nid

As sek primanumaleseta, kanoy getön notodoti lasümptotik pro primanum nid, papenöl as p_n:

$p_{n}\sim n\ln n.$

Nilikam gudikum binon

$p_{n}=n\ln n+n\ln \ln n+{\frac {n}{\ln n}}{\big (}\ln \ln n-\ln n-2{\big )}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right).$

Leset di Rosser lesagon, das p_n binon gretikum ka n ln n. Atos kanon gudükumön medü pär sököl miedas:

$n\ln n+n\ln \ln n-n<p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n\quad {\mbox{for }}n\geq 6.$

Neleig nedetik pätüvon fa hiel Pierre Dusart (1999) e lonöfon pro n ≥ 2.

Taib elas π(x), x / ln x, e Li(x)

Is pajonon taib, in kel paleigodons sekäts kil: π(x), x / ln x e Li(x).

x	π(x)	π(x) − x / ln x	π(x) / (x / ln x)	Li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23	1.161	10	5.952
104	1,229	143	1.132	17	8.137
105	9,592	906	1.104	38	10.425
106	78,498	6,116	1.084	130	12.740
107	664,579	44,158	1.071	339	15.047
108	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,818,006,727	37,083,513,766,592,669,113	1.020	7,236,148,412	51.939

Süm ko polünoms no diletoviks love fel finilabik

Dabinon sümod primanumaleseta, kel bepenon „dilami“ polünomas no diletoviks love fel finilabik; fom ona sümon vemo ad jenet primanumaleset rigik.

Kuratiko spikölo, el F = GF(q) binonöd fel finilabik labü binets q, pegivölo el q semik fümik, ed el N_n binonöd num polünomas no diletovik labü koäf balid = 1 love F, kela grad = n. Atos sinifon, das sukoy polünomis labü koäfs pevälöl se F, kels no kanons papenön as naedam polünomas grada smalikum. Is polünoms at labons rouli primanumas, ibä polünoms votik valik labü koäf balid = 1 pabumons me naedams onas. Kanoy tän blöfön, das

$N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}$

If plaädoy eli x dub qⁿ, tän flan detik leiga at vedon:

${\frac {x}{\log _{q}x}}$

kelos kleilükon sümi. Bi dabinons ebo qⁿ polünomas grada n labü koäf balid = 1 (keninükamü diletoviks), atos kanon pavotanotodön ön mod soik: if väloy polünomi grada n labü koäf balid = 1 ma fäd, tän mög, das binon no diletovik, binon za 1/n.

Kanoy igo blöfön sümodi niluda ela Riemann:

$N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{n/2}}{n}}\right).$

Blöfams lesetas at binons balugikum, ka jenets klatädik. Tefons blöfädi yümätavik brefik, ma kel binet alik stäänükama grada n ela F binon vul polünoma no diletovik semik, kela grad d müedon n; vulis at ön mods difik tel änumölo, kanoy fümedön, das

$q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d}$

kö saedam lonöfon love müedians valik d ela n. Güükam hiela Möbius givon:

$N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (n/d)q^{d}$

kö el μ(k) binon dinod ela Möbius. (Leig at ya päsevon fa hiel Gauss.) Cifadil komon ven d = n, e no fikulos ad miedükön dilis votik. „Nilud ela Riemann“ sekidon de jenöfot, das müedian legik gretikün ela n no kanon pluon tefü n/2.

Reidolös i yegedis (Linglänapükik):

• Numateor diletik nedabinotik ad getön nünis dö valemükams leseta.
• Leset ela Landau tefü primadials ad logön valemükami in jäfüd numafelas lalgebrik.
• Primanumanäedots.

Literat

• Avigad, Jeremy, Kevin Donnelly, David Gray, e Paul Raff. 2005. A formally verified proof of the prime number theorem, e-print cs. AI/0509025 in el ArXiv.
• Bach, E., e J. Shallit. 1996. Algorithmic Number Theory, toum: 1. Dabüköp ela MIT. ISBN 0-262-02405-5. (L. pad: 233, diläd: 8.8.)
• Dusart, P. 1999. "The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k-1) for k>=2". Mathematics of Computation, nüm: 68, pads: 411-415.
• Granville, A. 1995. Harald Cramér and the distribution of prime numbers, Scandinavian Actuarial Journal, toum: 1, pads: 12-28.
• Hardy, G. H., e J.E. Littlewood. 1916. Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes. Acta Mathematica, nüm: 41, pads: 119-196.
• Knuth, D. The Art of Computer Programming, volume 2, section 4.5.4, exercise 36, ISBN 0-201-89684-2.
• Schoenfeld, L. 1976. Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x), II, Mathematics of Computation, toum: 30, nüm: 134, pads: 337-360.
• Soprounov, I. 1998. A Short Proof of the Prime Number Theorem for Arithmetic Progressions.

Yüms plödik

In Linglänapük:

• Taib Primanumas fa hiel Anton Felkel.
• Prime formulas and Primanumaleset in bevüresodatopäd: MathWorld.
• Primanumaleset in bevüresodatopäd: PlanetMath.
• Primanums liomödotik dabinons-li? e Fagot bevü primanums fa hiel Chris Caldwell se Nivera di Tennessee.
• Taibs numamasekätas primanumas hiela Tomás Oliveira e Silva.