Định lý Heine–Borel

Trong tô pô của không gian metric, định lý Heine-Borel nói rằng:

Một tập con $A$ của không gian Euclide $\mathbb {R} ^{n}$ là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.

Chứng minh

Giả sử $A$ compact. Vì $\mathbb {R} ^{n}$ là không gian Hausdorff nên $A$ đóng. Lấy một họ

$\left\{B(0,m)|m\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}$

các phủ mở của $A$. Vì $A$ compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có $M$ sao cho $A\subset B(0,M)$. Nên, với hai điểm bất kỳ $x$ và $y$ của $A$, ta có $d(x,y)\leq 2M$. Vậy $A$ bị chặn.

Ngược lại, nếu $A$ đóng và bị chặn, giả sử $d(x,y)\leq N$ với mọi $x,y\in A$. Cố định một điểm $x_{0}$ của $A$, đặt $d(x_{0},0)=b$. Khi đó, với mọi $x\in A$ thì

$d(x,0)\leq d(x,x_{0})+d(x_{0},0)\leq N+b$.

Đặt $P=N+b$, thì $A$ là tập con của $[-P,P]^{n}$, là tập compact. Vì $A$ đóng nên $A$ cũng compact.