Heine–Borels sats

Heine-Borels sats eller Heine-Borels övertäckningssats är en matematisk sats om kompakta mängder uppkallad efter Eduard Heine och Émile Borel.

Heine-Borels sats har två formuleringar; en för ändligtdimensionella $\mathbb {R} ^{n}$-rum och en för allmänna metriska rum. Den första formuleringen säger att:

En delmängd $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ är kompakt om och endast om S är sluten och begränsad.

Inom reell analys används ibland den andra delen av satsen som definitionen på kompakt mängd, men i allmänna metriska rum gäller bara att kompakthet implicerar slutenhet och begränsning. Det finns istället en allmännare form av Heine-Borels sats:

En delmängd till ett metriskt rum är kompakt om och endast om mängden utgör ett fullständigt rum och är sluten och totalt begränsad.

Bevis

Bevis av den första formuleringen; $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ kompakt omm S sluten och begränsad. Implikationen att kompakthet ger slutenhet och begräsning visas för metriska rum. Kom ihåg definitionen för kompakt mängd; att varje öppen övertäckning av mängden har en ändlig delövertäckning som täcker mängden.

Kompakthet ger slutenhet

Låt $y\in S^{c}$ (komplementet till S). För alla $x\in S$ existerar disjunkta omgivningar $B_{x}$ som innehåller x och $B_{y}^{x}$ som innehåller y. Det följer att alla $B_{x}$-mängder bildar en öppen övertäckning av S, $S\subset \bigcup _{x\in S}B_{x}$. S är kompakt, så det existerar en ändlig delövertäckning som täcker S av mängder $B_{x_{1}},...,B_{x_{n}}$, så att $G=\bigcap _{k=1}^{n}B_{y}^{x_{k}}$ är en omgivning till y som inte ligger i S, så y kan inte vara en randpunkt till S. Då y valdes godtyckligt ger detta att S innehåller alla sina randpunkter och är därmed sluten.

Kompakthet ger begränsning

I allmänna metriska rum innebär att en mängd är begränsad $\sup _{x,y\in S}d(x,y)<\infty$ där d är metriken på S. En öppen övertäckning till S är mängden av klot med radie 1 med mittpunkt i x, betecknad $B_{1}(x)$ för alla x i S. Denna övertäckning har då en ändlig delövertäckning $B_{1}(x_{1}),...,B_{1}(x_{N})$ som täcker S. Antag att $x,y\in S$ och $x\in B_{1}(x_{i})$ och $y\in B_{1}(x_{j})$, som

$d(x,y)\leq d(x,x_{i})+d(x_{i},x_{j})+d(x_{j},y)<2+\max _{1\leq m,n\leq N}d(x_{m},x_{n})$

då x och y valdes godtyckligt ger detta att S är begränsad.

Slutenhet och begränsning ger kompakthet

Om en mängd $S\in \mathbb {R} ^{n}$ är begränsad kan den stängas in i en n-låda:

$S\subseteq [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times ...\times [a_{n},b_{n}]$

med $a_{k}<b_{k}$ och $a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} ~~\forall k$. Kalla denna n-låda för $T_{0}$. Man kan nu dela upp $T_{0}$ i flera små dellådor genom att dela varje sida i två. Vi får då $2^{n}$ dellådor.

Antag att $T_{0}$ inte är kompakt, då givet en öppen övertäckning C av $T_{0}$ måste finnas minst en dellåda till $T_{0}$ som kräver oändligt många öppna mängder för att täckas, kalla denna låda $T_{1}$. Fortsätt sedan med samma resonemang, dela upp $T_{1}$ i $2^{n}$ dellådor och plocka ut $T_{2}$, osv. Man får då en följd av T-mängder

$T_{0}\supset T_{1}\supset ...\supset T_{k}\supset ...$

vars längd, projicerat på $x_{j}$-axeln, går mot noll då n går mot oändligheten:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{j}-a_{j}}{2^{n}}}=0.$

Då ger Cantors inkapslingssats: $\bigcap _{k=1}^{\infty }T_{k}\neq \emptyset .$, dvs det finns en punkt $p\in T_{0}$. Eftersom C täcker S finns en mängd $A\in S$ så att $p\in A$. Då A är öppen finns ett n-klot $B(p)\subseteq A$, så att för tillräckligt stora k gäller $T_{k}\subseteq B(p)\subseteq A$, så att de oändligt många mängderna som behövs för att täcka $T_{k}$ kan ersättas med endast en, vilket ger en motsägelse. Alltså är $T_{0}$ kompakt.

S är alltså en sluten delmängd av en kompakt mängd, då resultatet nedan ger att S är kompakt.

Sluten delmängd till kompakt mängd är kompakt

Låt S vara en sluten delmängd till den kompakt mängden T i $\mathbb {R} ^{n}$. Låt $C_{S}$ vara en öppen övertäckning av S. Om $C_{S}$ också täcker T så existerar det en ändlig delövertäckning av $C_{S}$ som täcker T, anta därför att $C_{S}$ inte täcker T.

$S^{c}=\mathbb {R} ^{n}\setminus S$ är då en öppen mängd som innehåller punkter i T som inte täcks av $C_{S}$. Låt $C_{T}=C_{S}\cup \{S^{c}\}$ vara en öppen övertäckning av T. Eftersom T är kompakt så har $C_{T}'$ en ändlig delövertäckning. Då $S^{c}$ innehåller punkter i T som inte täcks av $C_{S}$ måste $S^{c}\in C_{T}'$, så att $C_{T}'=C_{S}'\cup \{S^{c}\}$, där $C_{S}'$ måste vara en ändlig delövertäckning av $C_{S}$ eftersom $S^{c}$ inte täcker $S$ så $C_{S}'\neq \emptyset .$