Досконале число

У теорії чисел досконале число — натуральне число, що дорівнює сумі його додатних дільників, не враховуючи самого числа. Наприклад, 6 має дільники 1, 2, 3 (не враховуючи його самого), $6=1+2+3$ , тому 6 — досконале число.

Сума дільників числа, не враховуючи самого числа, називається аліквотною сумою^[en], тому досконале число — це число, що дорівнює його аліквотній сумі. Що рівносильно, що досконале число — число, яке є половиною суми всіх своїх додатних дільників, враховуючи себе. У символьному записі: $\sigma _{1}(n)=2n$ , де $\sigma _{1}(n)$ — функція суми дільників числа $n$ . Наприклад, 28 — досконале, оскільки $1+2+4+7+14+28=56=2\cdot 28$ .

Це стародавнє означення, воно з'явилось ще в Началах Евкліда (VII.22), де такі числа називалися досконалими, ідеальними чи повними. Евклід також довів правило утворення (IX/36), за яким ${\frac {q(q+1)}{2}}$ є парним досконалим числом тоді, коли $q=2^{p}-1$ , $q$ і $p$ — прості числа. Такі $q$ називаються простими числами Мерсенна^[en]. Через два тисячоліття Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають таку форму^[1]. Цей результат відомий як теорема Евкліда-Ейлера^[en].

Невідомо, чи існують непарні досконалі числа і чи є нескінченною послідовність досконалих чисел. Декілька перших досконалих чисел — 6, 28, 496^[en], 8128^[en] (див. послідовність послідовність A000396 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Історія

Приблизно в 300-му році до н. е. Евклід показав, що, якщо $2^{p}-1$ — просте число, то $2^{p-1}(2^{p}-1)$ — досконале число. Перші 3 досконалі числа були єдиними, які знала давньогрецька математика і число 8128, яке знайшов Нікомах приблизно у 100-му році н. е.^[2] Нікомах стверджував без доведення, що будь-яке досконале число має вигляд $2^{n-1}(2^{n}-1)$ , де $2^{n}-1$ — просте число.^[3]^[4] Здається, він не знав, що $n$ також має бути простим числом. Також він помилково вважав, що досконалі числа по черзі закінчуються на 6 і на 8 (перші п'ять досконалих чисел закінчуються на 6, 8, 6, 8, 6 відповідно, але шосте закінчується знову на 6). Філон Олександрійський у своїй книзі першого століття «Про створення світу» згадує досконалі числа, стверджуючи, що світ був створений за 6 днів, а Місяць здійснює повний оберт по орбіті за 28 днів, тому що 6 і 28 — досконалі. До Філона приєднались Оріген^[5] і Дідим Сліпець, котрі зазначають, що є лише чотири досконалі числа, менші за 10000 (коментар до книги Буття 1.14-19).^[6] Св. Августин на початку п'ятого віку н. е. зазначає досконалі числа у книзі «Місто Боже» (книга XI, глава 30), повторюючи висловлювання, що Бог створив світ за 6 днів, бо 6 — найменше досконале число. Єгипетський математик Ізмаїл ібн Фоллус (1194-1252) згадує наступні три досканалі числа (33,550,336; 8,589,869,056; 137,438,691,328) і ще декілька, які виявились хибними.^[7] Перша згадка п'ятого досконалого числа європейцями — рукопис, написаний між 1456 і 1461 роками невідомим математиком.^[8] У 1588 році італійський математик П'єтро Катальді знайшов шосте (8,589,869,056) і сьоме (137,438,691,328) досконалі числа, а також довів, що кожне досконале число, отримане з правила Евкліда, закінчується на 6 чи 8.^[9]^[10]^[11]

Парні досконалі числа

Див. також: Теорема Евкліда-Ейлера^[en].

Евклід довів, що $2^{p-1}(2^{p}-1)$ є досконалими, коли $2^{p}-1$ є простим (Начала, твердження IX.36).

Наприклад, перші чотири досконалі числа, отримані за допомогою цієї формули:

при

p=2

:

2^{1}(2^{2}-1)=2\cdot 3=6,

при

p=3

:

2^{2}(2^{3}-1)=4\cdot 7=28,

при

p=5

:

2^{4}(2^{5}-1)=16\cdot 31=496,

при

p=7

:

2^{6}(2^{7}-1)=64\cdot 127=8128.

Прості числа вигляду $2^{p}-1$ , відомі як прості числа Мерсенна^[en], названі на честь монаха сімнадцятого століття Марена Мерсенна, що вивчав теорію чисел і досконалі числа. Для того, щоб $2^{p}-1$ було простим, необхідно щоб і $p$ було простим. Але це не достатня умова; наприклад, $2^{11}-1=2047=23\times 89$ не є простим^[12]. Насправді, прості числа Мерсенна дуже рідкісні — з 2.610.944 простих чисел менших 43112609^[en]^[13], число $(2^{p}-1)$ є простим лише для 47 з них.

Хоча Нікомах стверджував (без доведення), що всі досконалі числа мають вигляд $2^{n-1}(2^{n}-1)$ , де $2^{n}-1$ — просте число (саме твердження було трохи в іншій формі), Ібн аль-Хайсам приблизно в 1000-му році н. е. припускав, що формула описує лише будь-яке парне досконале число^[14]. Тільки в XVIII столітті Леонард Ейлер довів, що формула $2^{p-1}(2^{p}-1)$ описує всі парні досконалі числа. Таким чином існує взаємно однозначна відповідність між парними досконалими числами і простими числами Мерсенна; кожне просте число Мерсенна породжує одне парне досконале число, і навпаки. Цей результат часто називають теоремою Евкліда-Ейлера^[en].

Вичерпний пошук у рамках проекту GIMPS показав, що першим 47-ми парним досконалим числам вигляду $2^{p-1}(2^{p}-1)$ відповідають^[15]

p

= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 і 43112609 послідовність A000043 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.^[16]

Також знайдено п'ять більших досконалих чисел, а саме при $p$ =57.885.161, 74.207.281, 77.232.917, 82.589.933 і 136.279.841, але в цих межах можуть бути й інші. Станом на жовтень 2024 року відомо 52 простих чисел Мерсенна^[17] і, відповідно, 52 парних досконалих чисел (найбільше з яких — $2^{136279841}(2^{136279841}-1)$ з 82.048.640 цифрами). Невідомо чи існує нескінченно багато досконалих чисел і простих чисел Мерсенна.

Крім того, що будь-яке парне досконале число має вигляд $2^{p-1}(2^{p}-1)$ , воно ще є $(2^{p}-1)$ -им трикутним числом (і, як наслідок, є сумою цілих чисел від 1 до $2^{p}-1$ ), а також є $(2^{p-1})$ -им шестикутним числом. Більш того, будь-яке парне досконале число (за винятком 6) є $\left({\frac {2^{p}-1}{3}}\right)$ -им центрованим дев'ятикутним числом, а значить воно дорівнює сумі $2^{\frac {p-1}{2}}$ перших непарних кубів:

{\begin{aligned}6=2^{1}\left(2^{2}-1\right)&=1+2+3,\\[8pt]28=2^{2}\left(2^{3}-1\right)&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496=2^{4}\left(2^{5}-1\right)&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128=2^{6}\left(2^{7}-1\right)&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336=2^{12}\left(2^{13}-1\right)&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}

Парні досконалі числа (крім 6) мають вигляд

T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{\frac {2^{p}-2}{3}}

,

де кожне трикутне число $T_{7}=28$ , $T_{31}=496$ , $T_{127}=8128$ після віднімання одиниці і ділення на дев'ять закінчується на 3 або 5; послідовність починається з $T_{2}=3$ , $T_{10}=55$ , $T_{42}=903$ , $T_{2730}=3727815,\dots$ ^[18] Це можна переформулювати наступним чином: сумування цифр будь-якого парного досконалого числа (крім 6), а потім повтор таких дій з отриманими результатами до моменту, коли залишиться одна цифра (знаходження цифрового кореня), дасть в результаті одиницю. Наприклад, цифровий корінь числа 8128 дорівнює одиниці, бо $8+1+2+8=19$ , $1+9=10$ , $1+0=1$ . Це справедливо для усіх чисел вигляду $2^{m-1}(2^{m}-1)$ , де $m$ — непарне число.

Завдяки своїй формі $2^{p-1}(2^{p}-1)$ кожне парне досконале число записується у двійковій системі як $p$ одиниць, а за ними $(p-1)$ нулів. Наприклад,

6_{10}=2^{2}+2^{1}=110_{2},

28_{10}=2^{4}+2^{3}+2^{2}=11100_{2},

496_{10}=2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}=111110000_{2},

8128_{10}=2^{12}+2^{11}+\cdots +2^{7}+2^{6}=1111111000000_{2}.

Таким чином парні досконалі числа є згубними числами^[en].

Кожне парне досконале число також є практичним числом.

Непарні досконалі числа

Невідомо чи існує хоч якесь непарне досконале число, хоча деякі результати у цьому напрямі були отримані. У 1496 році Жак Лефевр стверджував, що правило Евкліда дає абсолютно всі досконалі числа^[19], з чого слідує відсутність непарних досконалих чисел. Ейлер стверджував, що найважчим питанням є питання існування непарних досконалих чисел^[20]. Нещодавно Карл Померанс^[en] представив евристичний аргумент^[en], який передбачає, що дійсно непарного досконалого числа не має існувати^[21]. Усі досконалі числа також є гармонічними числами Оре^[en], а також існує гіпотеза, що немає непарних гармонічних чисел Оре (крім одиниці).

Будь-яке непарне досконале число $N$ має задовольняти наступним умовам:

$N\geq 10^{1500}$ ^[22]
$N$ не ділиться на 105^[23]
$N$ конгурентне або 1 по модулю 12, або 117 по модулю 468, або 81 по модулю 324^[24]
$N$ має вигляд $N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}}$ , де

$q,p_{1},\dots ,p_{k}$ є різними простими числами (Ейлер);
$N\equiv \alpha \equiv 1$ (mod 4) (Ейлер);
Найменший простий дільник числа $N$ менший за ${\frac {2k+8}{3}}$ ;^[25]
Або $q^{\alpha }>10^{62}$ , або $p_{j}^{2e_{j}}>10^{62}$ для деякого $j$ ;^[22]
$N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$ ;^[26]^[27]
$\alpha +2e_{1}+2e_{2}+\dots +2e_{k}\geq {\frac {21k-18}{8}}$ ;^[28]^[29]
$qp_{1}p_{2}\dots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ .^[30]

Найбільший простий дільник числа $N$ більший за $10^{8}$ ^[31] і менший за $(3N)^{\frac {1}{3}}$ .^[32]
Наступний найбільший простий дільник $N$ більший за $10^{4}$ і менший за $(2N)^{\frac {1}{5}}$ .^[33]^[34]
Третій найбільший простий дільник $N$ більший за 100.^[35]
$N$ має щонайменше 101 простий дільник, де щонайменше 10 різних.^[36]
Якщо $N$ не ділиться на 3, то $N$ має щонайменше 12 простих дільників.^[37]

Також відомо декілька другорядних результатів, що стосуються показників $e_{1},\dots ,e_{k}$ числа $N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}}$ .

Не всі $e_{i}\equiv 1$ (mod 3).^[38]
Не всі $e_{i}\equiv 2$ (mod 5).^[39]
Якщо $e_{i}\equiv 1$ (mod 3) або $e_{i}\equiv 2$ (mod 5), найменший простий дільник числа $N$ буде знаходитись в межах від $10^{8}$ до $10^{1000}$ .
У загальному випадку, якщо всі $2e_{i}+1$ мають простий дільник у скінченній множині $S$ , то найменший простий дільник числа $N$ має бути найменшим за ефективно обчислювальну константу, що залежить лише від $S$ .
Якщо $(e_{i},\dots ,e_{k})=(1,\dots ,1,2,\dots ,2)$ з $t$ одиницями і $u$ двійками, то ${\frac {t-1}{4}}\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$ .^[40]
$(e_{i},\dots ,e_{k})\neq (1,\dots ,1,3)$ ,^[41] $(1,\dots ,1,5)$ , $(1,\dots ,1,6)$ .^[42]
Якщо $e_{1}=\dots =e_{k}=e$ , то

$e$ не може дорівнювати 3,^[43] 5, 24,^[44] 6, 8, 11, 14 або 18.^[42]
$k\leq 2e^{2}+8e+2$ і $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$ .^[45]

У 1888 році Сильвестр стверджував: «… довгі роздуми на цю тему переконали мене, що існування будь-якого такого (непарного досконалого) числа — це вихід із величезної павутини умов, що його оточують, і є просто чудом.»^[46]

Багато властивостей, доведених відносно непарних досконалих чисел, також стосуються чисел Декарта^[en], а тому Пейс Нільсен припустив, що достатнє вивчення таких чисел може привести до доведення відсутності непарних досконалих чисел.^[47]

Незначні результати

Усі парні досконалі числа мають дуже точну форму; непарні досконалі числа або не існують, або є дуже рідкісними. Є цілий ряд результатів щодо досконалих чисел, які насправді досить легко довести, але, втім, є вражаючими; деякі з них підходять під сильний закон малих чисел^[en] Річарда Ґая:

28 — єдине парне досконале число вигляду $x^{3}+1$ ^[48]
28 — також єдине парне досконале число, яке є сумою кубів двох додатних чисел^[49]
Сума чисел, обернених до дільників досконалого числа, дорівнює двійці (щоб отримати це, необхідно скористатися означенням досконалого числа $\sigma _{1}(n)=2n$ і поділити обидві частини рівності на $n$ ):

Для 6 маємо: ${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}=2$ ;
Для 28 маємо: ${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}=2$ , і так далі.

Кількість дільників будь-якого досконалого числа (парного чи непарного) має бути парною, оскільки досконале число $N$ не може бути повним квадратом^[50]

З двох зазначених вище властивостей випливає, що кожне досконале число є гармонічним числом Оре^[en].

Парні досконалі числа не є трапецієвидними числами^[en]; тобто їх не можна представити у вигляді різниці двох додатних непослідовних трикутних чисел. Існує лише три типи нетрапецієвидних чисел: парні досконалі числа, степені двійки і числа вигляду $2^{n-1}(2^{n}-1)$ , які утворені як добуток простого числа Ферма $2^{n}-1$ та $2^{n-1}$ , що аналогічно побудові досконалих чисел з простих чисел Мерсенна.^[51]
Кількість досконалих чисел менших за $n$ менша за $c{\sqrt {n}}$ , де $c$ — додатна константа.^[52] Насправді це $o({\sqrt {n}})$ (використовується позначення $o$ -малого).^[53]
Кожне парне досконале число закінчується на 6 чи 28 в десятковій системі і закінчується на 1 (за винятком числа 6) в системі за базою 9^[54]^[55]. Тому цифровий корінь будь-якого парного досконалого числа (відмінного від 6) дорівнює 1.
6 — єдине досконале число, яке є безквадратичним.^[56]

Пов'язані поняття

Сума власних дільників дає різні інші види чисел. Числа, де сума їх дільників менша за саме число, називають недостатніми, а де більша — надлишковими. Ці терміни і саме поняття досконалих чисел прийшло до нас з грецької нумерології. Пари чисел, які є сумами власних дільників один одного, називаються дружними, а більші цикли таких чисел називаються компанійськими^[en]. Натуральне число таке, що кожне менше за нього натуральне число є сумою його різних дільників, називається практичним.

За означенням, досконале число — нерухома точка обмеженої функції дільників^[en] $s(n)=\sigma (n)-n$ , а пов'язана з досконалими числами аліквотна послідовність^[en] є постійною послідовністю. Всі досконалі числа також є ${\mathcal {S}}$ -досконалими або числами Гранвіля^[en].

Напівдосконале число — натуральне число, яке дорівнює сумі всіх або деяких власних дільників. Напівдосконале число, яке дорівнює сумі всіх власних дільників, є досконалим числом. Більшість надлишкових чисел також є напівдосконалими; надлишкові числа, що не є напівдосконалими, називаються дивними^[en].

Див. також

Примітки

↑ Caldwell, Chris, «A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime»
↑ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol.~I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p.~4.
↑ «Perfect numbers». www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Retrieved 9 May 2018
↑ У «Вступі в арифметику» (глава 16) він стверджує, що є акуратний і безвідмовний метод, який описує кожне досконале число і не описує жодне інше, що здійснюється вказаним ним чином, який є еквівалентним знаходженню трикутних чисел за допомогою простих чисел Мерсенна
↑ Commentary on the Gospel of John 28.1.1-4, with further references in the Sources Chrétiennes edition: vol.~385, 58-61
↑ http://torreys.org/sblpapers2015/S22-05\_philonic\_arithmological\_exegesis.pdf^{[недоступне посилання]}
↑ Roshdi Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994), pp. 328—329.
↑ Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14908. See David Eugene Smith (1925). History of Mathematics: Volume II. New York: Dover. p. 21. ISBN 0-486-20430-8.
↑ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 10
↑ Pickover, C (2001). Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. p. 360. ISBN 0-19-515799-0
↑ Peterson, I (2002). Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. p. 132. ISBN 88-8358-537-2
↑ Усі дільники числа $2^{p}-1$ конгруентні одиниці по модулю $2p$ . Наприклад, $2^{11}-1=2047=23\times 89$ . І 23, і 89 дають остачу 1 при діленні на 22. Більш того, якщо $p$ є простим числом Софі Жермен (якщо $2p+1$ — теж просте і $2p+1$ конгруентне 1 або 7 за модулем 8), то $2p+1$ буде дільником числа $2^{p}-1$ , що справедливо для $p=11,23,83,131,179,191,239,251,\dots$ , (послідовність A002515 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
↑ «Numbers of prime $\leq 43112609$ ». Wolfram Alpha. Retrieved 2018-10-28
↑ O'Connor, John J.;Robertson, Edmund F., «Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
↑ GIMPS Milestones Report. Retrieved 2018-02-27
↑ GIMPS Milestones Report [Архівовано 3 вересня 2016 у Wayback Machine.]. Retrieved 2018-02-27
↑ «GIMPS Home». Mersenne.org. Retrieved 2018-12-21
↑ Weisstein, Eric W. «Perfect Number». MathWorld
↑ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 6.
↑ Архівована копія (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 28 травня 2016. Процитовано 15 травня 2021.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)
↑ Oddperfect.org. Archived 2006-12-29 at the Wayback Machine
↑ ^а ^б Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). «Odd perfect numbers are greater than 101500» (PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869—1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005
↑ Kühnel, Ullrich (1950). ``Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift (in German). 52: 202—211. doi:10.1007/BF02230691
↑ Roberts, T (2008). «On the Form of an Odd Perfect Number» (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244.
↑ Grün, O (1952). «Über ungerade vollkommene Zahlen». Mathematische Zeitschrift. 55 (3): 353—354. doi:10.1007/BF01181133
↑ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). «Improved upper bounds for odd multiperfect numbers». Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353—359
↑ Nielsen, Pace P. (2003). «An upper bound for odd perfect numbers». Integers. 3: A14–A22. Retrieved 23 March 2021
↑ Zelinsky, Joshua (25 May 2018). «An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers». Integers. 18. arXiv:1706.07009. Bibcode:2017arXiv170607009Z. Retrieved 23 May 2018
↑ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). «On the number of prime factors of an odd perfect number». Mathematics of Computation. 83 (289): 2435—2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7
↑ Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). «On the radical of a perfect number». New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Retrieved 7 December 2018
↑ Goto, T; Ohno, Y (2008). «Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108»(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859—1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G.doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Retrieved 30 March 2011
↑ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). «On Prime Factors of Odd Perfect Numbers». International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537—1540. doi:10.1142/S1793042112500935
↑ Zelinsky, Joshua (July 2019). «Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number». International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183—1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659
↑ Iannucci, DE (1999). «The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand»(PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749—1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Retrieved 30 March 2011.
↑ Iannucci, DE (2000). «The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred»(PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867—879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Retrieved 30 March 2011.
↑ Nielsen, Pace P. (2015). «Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds»(PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549—2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Retrieved 13 August 2015.
↑ Nielsen, Pace P. (2007). «Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors»(PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2109—2126. arXiv: math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. Retrieved 30 March 2011.
↑ McDaniel, Wayne L. (1970). «The non-existence of odd perfect numbers of a certain form». Archiv der Mathematik. 21 (1): 52–53. doi:10.1007/BF01220877. ISSN 1420-8938. MR 0258723
↑ Fletcher, S. Adam; Nielsen, Pace P.; Ochem, Pascal (2012). «Sieve methods for odd perfect numbers»(PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1753?1776. doi:10.1090/S0025-5718-2011-02576-7. ISSN 0025-5718. MR 2904601
↑ Cohen, G. L. (1987). «On the largest component of an odd perfect number». Journal of the Australian Mathematical Society, Series A. 42 (2): 280—286. doi:10.1017/S1446788700028251. ISSN 1446-8107. MR 0869751
↑ Kanold, Hans-Joachim (1950). «Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretisehe Probleme. II». Journal für die reine und angewandte Mathematik. 188 (1): 129—146. doi:10.1515/crll.1950.188.129. ISSN 1435-5345. MR 0044579
↑ ^а ^б Cohen, G. L.; Williams, R. J. (1985). «Extensions of some results concerning odd perfect numbers» (PDF). Fibonacci Quarterly. 23 (1): 70–76. ISSN 0015-0517. MR 0786364
↑ Hagis, Peter Jr.; McDaniel, Wayne L. (1972). «A new result concerning the structure of odd perfect numbers». Proceedings of the American Mathematical Society. 32 (1): 13–15. doi:10.1090/S0002-9939-1972-0292740-5. ISSN 1088-6826. MR 0292740
↑ McDaniel, Wayne L.; Hagis, Peter Jr. (1975). «Some results concerning the non-existence of odd perfect numbers of the form $p^{\alpha }M^{2\beta }$ »(PDF). Fibonacci Quarterly. 13 (1): 25–28. ISSN 0015-0517. MR 0354538
↑ Yamada, Tomohiro (2019). «A new upper bound for odd perfect numbers of a special form». Colloquium Mathematicum. 156 (1): 15–21. arXiv:1706.09341. doi:10.4064/cm7339-3-2018. ISSN 1730-6302
↑ The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester p. 590, tr. from «Sur les nombres dits de Hamilton», Compte Rendu de l'Association Française (Toulouse, 1887), pp. 164—168.
↑ Nadis, Steve (10 September 2020). «Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem». Quanta Magazine. Retrieved 10 September 2020.
↑ Makowski, A. (1962). «Remark on perfect numbers». Elem. Math. 17 (5): 109.
↑ Gallardo, Luis H. (2010). «On a remark of Makowski about perfect numbers». Elem. Math. 65: 121—126. doi:10.4171/EM/149
↑ Yan, Song Y. (2012), Computational Number Theory and Modern Cryptography, John Wiley, Sons, Section 2.3, Exercise 2(6), ISBN 9781118188613.
↑ Jones, Chris; Lord, Nick (1999). «Characterising non-trapezoidal numbers». The Mathematical Gazette. The Mathematical Association. 83 (497): 262—263. doi:10.2307/3619053. JSTOR 3619053
↑ Hornfeck, B (1955). «Zur Dichte der Menge der vollkommenen zahlen». Arch. Math. 6 (6): 442—443. doi:10.1007/BF01901120
↑ Kanold, HJ (1956). «Eine Bemerkung uber die Menge der vollkommenen zahlen». Math. Ann. 131 (4): 390—392. doi:10.1007/BF01350108
↑ H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
↑ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 25.
↑ Redmond, Don (1996). Number Theory: An Introduction to Pure and Applied Mathematics. Chapman, Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. 201. CRC Press. Problem 7.4.11, p. 428. ISBN 9780824796969.

Посилання

David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers [Архівовано 28 грудня 2014 у Wayback Machine.]
Perfect numbers — History and Theory [Архівовано 30 червня 2004 у Wayback Machine.]
Weisstein, Eric W. Perfect Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
Great Internet Mersenne Prime Search [Архівовано 14 серпня 2021 у Wayback Machine.] (GIMPS)
Perfect Numbers [Архівовано 12 лютого 2015 у Wayback Machine.], math forum at Drexel.
Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Архів оригіналу за 31 травня 2013. Процитовано 2 квітня 2013.

Література

Euclid, Elements, Book IX, Proposition 36. See D.E. Joyce's website [Архівовано 2 березня 2011 у Wayback Machine.] for a translation and discussion of this proposition and its proof.
Kanold, H.-J. (1941). Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 183: 98—109.
Steuerwald, R. Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl. S.-B. Bayer. Akad. Wiss. 1937: 69—72.

Додаткова література

Nankar, M.L.: "History of perfect numbers, " Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
Riele, H.J.J. «Perfect Numbers and Aliquot Sequences» in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation, Birkhauser, 1985.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. с. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.

[1] Caldwell, Chris, «A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime»

[2] Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol.~I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p.~4.

[3] «Perfect numbers». www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Retrieved 9 May 2018

[4] У «Вступі в арифметику» (глава 16) він стверджує, що є акуратний і безвідмовний метод, який описує кожне досконале число і не описує жодне інше, що здійснюється вказаним ним чином, який є еквівалентним знаходженню трикутних чисел за допомогою простих чисел Мерсенна

[5] Commentary on the Gospel of John 28.1.1-4, with further references in the Sources Chrétiennes edition: vol.~385, 58-61

[6] ttps://torreys.org/sblpapers2015/S22-05\_philonic\_arithmological\_exegesis.pdf^{[недоступне посилання]}

[7] Roshdi Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994), pp. 328—329.

[8] Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14908. See David Eugene Smith (1925). History of Mathematics: Volume II. New York: Dover. p. 21. ISBN 0-486-20430-8.

[9] Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 10

[10] Pickover, C (2001). Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. p. 360. ISBN 0-19-515799-0

[11] Peterson, I (2002). Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. p. 132. ISBN 88-8358-537-2

[12] Усі дільники числа $2^{p}-1$ конгруентні одиниці по модулю $2p$ . Наприклад, $2^{11}-1=2047=23\times 89$ . І 23, і 89 дають остачу 1 при діленні на 22. Більш того, якщо $p$ є простим числом Софі Жермен (якщо $2p+1$ — теж просте і $2p+1$ конгруентне 1 або 7 за модулем 8), то $2p+1$ буде дільником числа $2^{p}-1$ , що справедливо для $p=11,23,83,131,179,191,239,251,\dots$ , (послідовність A002515 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

[13] «Numbers of prime $\leq 43112609$ ». Wolfram Alpha. Retrieved 2018-10-28

[14] O'Connor, John J.;Robertson, Edmund F., «Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[15] GIMPS Milestones Report. Retrieved 2018-02-27

[16] GIMPS Milestones Report [Архівовано 3 вересня 2016 у Wayback Machine.]. Retrieved 2018-02-27

[17] «GIMPS Home». Mersenne.org. Retrieved 2018-12-21

[18] Weisstein, Eric W. «Perfect Number». MathWorld

[19] Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 6.

[20] Архівована копія (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 28 травня 2016. Процитовано 15 травня 2021.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)

[21] Oddperfect.org. Archived 2006-12-29 at the Wayback Machine

[:0-22] а ^б Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). «Odd perfect numbers are greater than 101500» (PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869—1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005

[23] Kühnel, Ullrich (1950). ``Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift (in German). 52: 202—211. doi:10.1007/BF02230691

[24] Roberts, T (2008). «On the Form of an Odd Perfect Number» (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244.

[25] Grün, O (1952). «Über ungerade vollkommene Zahlen». Mathematische Zeitschrift. 55 (3): 353—354. doi:10.1007/BF01181133

[26] Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). «Improved upper bounds for odd multiperfect numbers». Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353—359

[27] Nielsen, Pace P. (2003). «An upper bound for odd perfect numbers». Integers. 3: A14–A22. Retrieved 23 March 2021

[28] Zelinsky, Joshua (25 May 2018). «An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers». Integers. 18. arXiv:1706.07009. Bibcode:2017arXiv170607009Z. Retrieved 23 May 2018

[29] Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). «On the number of prime factors of an odd perfect number». Mathematics of Computation. 83 (289): 2435—2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7

[30] Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). «On the radical of a perfect number». New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Retrieved 7 December 2018

[31] Goto, T; Ohno, Y (2008). «Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108»(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859—1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G.doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Retrieved 30 March 2011

[32] Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). «On Prime Factors of Odd Perfect Numbers». International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537—1540. doi:10.1142/S1793042112500935

[33] Zelinsky, Joshua (July 2019). «Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number». International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183—1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659

[34] Iannucci, DE (1999). «The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand»(PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749—1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Retrieved 30 March 2011.

[35] Iannucci, DE (2000). «The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred»(PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867—879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Retrieved 30 March 2011.

[36] Nielsen, Pace P. (2015). «Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds»(PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549—2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Retrieved 13 August 2015.

[37] Nielsen, Pace P. (2007). «Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors»(PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2109—2126. arXiv: math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. Retrieved 30 March 2011.

[38] McDaniel, Wayne L. (1970). «The non-existence of odd perfect numbers of a certain form». Archiv der Mathematik. 21 (1): 52–53. doi:10.1007/BF01220877. ISSN 1420-8938. MR 0258723

[39] Fletcher, S. Adam; Nielsen, Pace P.; Ochem, Pascal (2012). «Sieve methods for odd perfect numbers»(PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1753?1776. doi:10.1090/S0025-5718-2011-02576-7. ISSN 0025-5718. MR 2904601

[40] Cohen, G. L. (1987). «On the largest component of an odd perfect number». Journal of the Australian Mathematical Society, Series A. 42 (2): 280—286. doi:10.1017/S1446788700028251. ISSN 1446-8107. MR 0869751

[41] Kanold, Hans-Joachim (1950). «Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretisehe Probleme. II». Journal für die reine und angewandte Mathematik. 188 (1): 129—146. doi:10.1515/crll.1950.188.129. ISSN 1435-5345. MR 0044579

[:1-42] а ^б Cohen, G. L.; Williams, R. J. (1985). «Extensions of some results concerning odd perfect numbers» (PDF). Fibonacci Quarterly. 23 (1): 70–76. ISSN 0015-0517. MR 0786364

[43] Hagis, Peter Jr.; McDaniel, Wayne L. (1972). «A new result concerning the structure of odd perfect numbers». Proceedings of the American Mathematical Society. 32 (1): 13–15. doi:10.1090/S0002-9939-1972-0292740-5. ISSN 1088-6826. MR 0292740

[44] McDaniel, Wayne L.; Hagis, Peter Jr. (1975). «Some results concerning the non-existence of odd perfect numbers of the form $p^{\alpha }M^{2\beta }$ »(PDF). Fibonacci Quarterly. 13 (1): 25–28. ISSN 0015-0517. MR 0354538

[45] Yamada, Tomohiro (2019). «A new upper bound for odd perfect numbers of a special form». Colloquium Mathematicum. 156 (1): 15–21. arXiv:1706.09341. doi:10.4064/cm7339-3-2018. ISSN 1730-6302

[46] The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester p. 590, tr. from «Sur les nombres dits de Hamilton», Compte Rendu de l'Association Française (Toulouse, 1887), pp. 164—168.

[47] Nadis, Steve (10 September 2020). «Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem». Quanta Magazine. Retrieved 10 September 2020.

[48] Makowski, A. (1962). «Remark on perfect numbers». Elem. Math. 17 (5): 109.

[49] Gallardo, Luis H. (2010). «On a remark of Makowski about perfect numbers». Elem. Math. 65: 121—126. doi:10.4171/EM/149

[50] Yan, Song Y. (2012), Computational Number Theory and Modern Cryptography, John Wiley, Sons, Section 2.3, Exercise 2(6), ISBN 9781118188613.

[51] Jones, Chris; Lord, Nick (1999). «Characterising non-trapezoidal numbers». The Mathematical Gazette. The Mathematical Association. 83 (497): 262—263. doi:10.2307/3619053. JSTOR 3619053

[52] Hornfeck, B (1955). «Zur Dichte der Menge der vollkommenen zahlen». Arch. Math. 6 (6): 442—443. doi:10.1007/BF01901120

[53] Kanold, HJ (1956). «Eine Bemerkung uber die Menge der vollkommenen zahlen». Math. Ann. 131 (4): 390—392. doi:10.1007/BF01350108

[54] H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.

[55] Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 25.

[56] Redmond, Don (1996). Number Theory: An Introduction to Pure and Applied Mathematics. Chapman, Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. 201. CRC Press. Problem 7.4.11, p. 428. ISBN 9780824796969.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]