Перегляд вихідного коду сторінки Пі-теорема Букінгема

Пі-теорема Букінгема&nbsp;— це ключова теорема в [[Метод аналізу розмірностей|аналізі розмірностей]]. Це формалізація [[Метод аналізу розмірностей Релея|методу аналізу розмірностей Релея]]. Вільно кажучи, теорема стверджує, що якщо рівняння включає певну кількість ''n'' фізичних змінних, тоді початкове рівняння можна переписати за допомогою множини з ''p = n - k'' безрозмірнісних параметрів {{pi}}<sub>1</sub>, {{pi}}<sub>2</sub>, ..., {{pi}}<sub>p</sub> сконструйованих з початкових змінних. (Тут ''k''&nbsp;— це кількість залучених фізичних розмірностей; її обчислюють як [[Ранг (лінійна алгебра)|ранг]] спеціальної матриці.)

Теорему можна розглядати як схему знерозмірнення, бо вона надає метод для обчислення множини безромірнісних параметрів з заданих змінних, навіть якщо форма рівняння все ще невідома.

== Твердження ==
Більш формально, кількість безрозмірнісних членів, які можна утворити, ''p'', дорівнює вимірності [[Ядро матриці|ядра]] матриці розмірностей, а ''k''&nbsp;— це її ранг. Для експериментальних цілей, різні системи, що мають однаковий опис мовою цих [[Безрозмірнісна фізична величина|безрозмірнісних фізичних величин]]&nbsp;— тотожні.

Викладаючи математично, якщо ми маємо фізично значиме рівняння таке як

:<math>f(q_1,q_2,\ldots,q_n)=0,</math>

де ''q''<sub>''i''</sub>&nbsp;— це ''n'' фізичних змінних і вони виражені через ''k'' незалежних фізичних одиниць, тоді попереднє рівняння можна переформулювати як

:<math>F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0,</math>

де {{pi}}<sub>''i''</sub>&nbsp;— це безрозмірнісні параметри, утворені з ''q''<sub>''i''</sub> використовуючи ''p'' = ''n'' − ''k'' безрозмірнісних рівнянь&nbsp;— так званих ''Пі груп''&nbsp;— у вигляді

:<math>\pi_i=q_1^{a_1}\,q_2^{a_2}\cdots q_n^{a_n},</math>

де показники ''a''<sub>''i''</sub>&nbsp;— це раціональні числа (їх завжди можна перевизначити як цілі, піднесши {{pi}}<sub>''i''</sub> до степеня, так щоб позбутись знаменника).

== Доведення ==

=== Нарис ===
Припустимо, що простір фундаментальних і похідних фізичних величин формує [[векторний простір]] над [[раціональні числа|раціональними числами]], де фундаментальні величини виявляють себе як базисні вектори, а добуток фізичних величин проявляється як векторне додавання і піднесення до степеня як множення на [[скаляр]]. Цей простір представляє розмірності як множину показників, необхідних для фундаментальних величин (якщо степінь нульова, то ця фундаментальна величина відсутня). Наприклад, стандартне [[Гравітаційне поле Землі|гравітаційне]] прискорення ''g'' має одиниці <math>D/T^2=D^1T^{-2}</math>, отже, воно представлене як вектор <math>(1,-2)</math> щодо базису фундаментальних одиниць (відстань, час).

Прирівнювання фізичних величин у множині фізичних рівнянь можна розглядати як накладання лінійних обмежень у векторному просторі фізичних величин.

=== Формальне доведення ===
Маючи систему з ''n'' розмірнісних змінних (з фізичними розмірностями) в ''k'' фундаментальних (базисних) розмірностях, запишемо ''матрицю розмірностей'' ''M'', чиї рядки це фундаментальні розмірності і чиї стовпчики це розмірності змінних: (''i'',&nbsp;''j'')-й елемент&nbsp;— це степінь ''i''-ї фундаментальної розмірності в ''j''-й змінній. Отже,
:<math>M\begin{bmatrix}a_1\\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix}</math>
це фізичні одиниці величини
:<math>q_1^{a_1}\,q_2^{a_2}\cdots q_n^{a_n}. </math>

Безрозмірнісна змінна&nbsp;— це величина з фундаментальними розмірностями, піднесеними в нульовий степінь ([[нульовий вектор]] векторного простору фундаментальних розмірностей), що те саме, що ядро цієї матриці.

Система з ''n'' векторів (стовпчиків) з ''k'' лінійно незалежними рядками (ранг матриці&nbsp;— це кількість фундаментальних розмірностей) має ступінь виродженності, ''p'', що задовольняє (''p''&nbsp;=&nbsp;''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''k''), де ступінь виродженності&nbsp;— це кількість стовпчиків/змінних, які можна зробити безрозмірнісними.

Безрозмірнісні змінні можна завжди обрати цілочисельними комбінаціями розмірнісних змінних. Не існує природного математичного вибору безрозмірнісних змінних; деякі варіанти безрозмірнісних змінних більш фізично значимі, і найкраще використовувати саме їх.

== Приклади ==

=== Швидкість ===
Цей приклад елементарний, але підходить для демонстрації процедури.

Припустімо, що автівка рухається зі швидкістю 100&nbsp;км/г; скільки їй потрібно часу, щоб подолати 200&nbsp;км?

Це питання розглядає три розмірнісних змінних: відстань ''d'', час ''t'' і швидкість ''v'', і ми шукаємо деякий закон у вигляді {{nowrap|1=''t'' = ''Тривалість''(''v'', ''d'')}} . Ці змінні допускають двовимірний базис: час ''T'' і відстань ''D''. Таким чином, існує 3&nbsp;&minus;&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;1 безрозмірнісних величин.

Матриця розмірностей:
:<math>M=\begin{bmatrix}
1 & 0 & \;\;\;1\\
0 & 1 & -1
\end{bmatrix}.</math>

Тут рядки відповідають базисним розмірностям ''D'' і ''T'', а стовпчики розмірностям ''D'', ''T'' і ''V'', де остання позначає розмірність швидкості. Елементи матриці відповідають степеням, до яких відповідні розмірності треба піднести. Наприклад, третій стовпчик (1,&nbsp;&minus;1), каже, що {{nowrap|1=''V'' = ''D''<sup>0</sup>''T''<sup>0</sup>''V''<sup>1</sup>}}, представлене вектором стовпчиком <math>\mathbf{v}=[0,0,1]</math>, представне в термінах базисних розмірностей як <math>V = D^1 T^{-1} = D/T </math>, бо <math> M\mathbf{v} = [1,-1]</math>.

Для безромірнісної сталої <math>\pi=D^{a_1}T^{a_2}V^{a_3}</math>, ми шукаємо вектори <math>\mathbf{a}=[a_1,a_2,a_3]</math> такі, що матрично-векторний добуток ''M'''''a''' дорівнює нульовому вектору [0,0]. В [[Лінійна алгебра|лінійній алгебрі]], множина векторів з такою властивістю відома як ядро матриці, в нашому випадку матриці розмірностей. Тут це ядро одновимірне. Матриця розмірностей як записана вище вже є в [[Рядкова ступінчаста форма|скороченій рядковій формі]], отже ми можемо просто зчитати ненульовий вектор з ядра з точністю до сталого множника:

:<math>\mathbf{a}=\begin{bmatrix} -1\\ \;\;\;1\\ \;\;\;1\\ \end{bmatrix}.</math>

Якщо матриця розмірностей була б не у скороченій формі, то можна було б використати [[метод Гауса]]. Отже, безрозмірнісна стала має вигляд:

:<math>\pi = d^{-1}t^1v^1 = tv/d .</math>

З того, що ядро визначене з точністю до сталого множника, наведена безрозмірнісна стала піднесена до довільного степеня дає іншу (тотожну) безрозмірнісну сталу.

Аналіз розмірностей надав загальне рівняння, що пов'язує три фізичні змінні:

:<math>f(\pi)=0,</math>

або, дозволяючи <math>C</math> позначати [[Корінь функції|корінь]] функції <math>f</math>,

:<math>\pi=C,</math>

що можна записати як

:<math>t=C\frac{d}{v},</math>

Справжній зв'язок між трьома змінними це просто <math>d=vt</math>. Інакше кажучи, в цьому випадку <math>f</math> має фізично значимий корінь і це одиниця. Факт того, що лише одне значення ''C'' підходить і, що це 1 не відкривається за допомогою техніки аналізу розмірностей.

[[File:Pendel PT.svg|thumb]]

===Простий маятник===
Ми бажаємо визначити період ''T'' малих коливань простого маятника. Ми припускаємо, що це функція довжини ''L'', маси ''M'' і прискорення ''g'', яке має розмірність довжини поділеній на квадрат часу. Модель має форму

:<math>f(T,M,L,g) = 0.</math>

В цьому рівнянні наявні три фундаментальні фізичні розмірності: час <math>t</math>, маса <math>m</math> і довжина <math>\ell</math>, а також 4 розмірнісні змінні, ''T'', ''M'', ''L'' і ''g''. Отже нам потрібен лише 4&nbsp;−&nbsp;3&nbsp;=&nbsp;1 безрозмірнісний параметр π. Модель можна виразити як

:<math>f(\pi) = 0,</math>

де π заданий так

:<math>\pi =T^{a_1}M^{a_2}L^{a_3}g^{a_4}</math>

для деяких значень ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>4</sub>.

Розмірності розмірнісних величин такі:

:<math>T = t, M = m, L = \ell, g = \ell/t^2.</math>

Матриця розмірностей:

:<math>M=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -2\\
0 & 1 & 0 &  0\\
0 & 0 & 1 &  1
\end{bmatrix}.</math>

(Рядки відповідають розмірностям <math>t, m</math> і <math>\ell</math>, а стопчики розмірнісним змінним ''T'', ''M'', ''L'' і ''g''. Наприклад, 4-й стовпчик, (&minus;2,&nbsp;0,&nbsp;1), говорить, що ''g'' має розмірність <math>t^{-2}m^0 \ell^1</math>.)

Ми шукаємо вектор ядра ''a'' = [''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;''a''<sub>3</sub>,&nbsp;''a''<sub>4</sub>] такий, що матричний добуток ''M'' на ''a'' дає нульовий вектор [0,0,0]. Матриця розмірностей наведена вище вже перебуває в скороченій рядковій формі, тому ми можемо зчитати вектор ядра з точністю до сталого множника:

:<math>a=\begin{bmatrix}2\\ 0 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}.</math>

Безрозмірнісну сталу можна записати як:

:<math>\begin{align}\pi &= T^2M^0L^{-1}g^1\\
                        &= gT^2/L\end{align}.</math>

Або в базисних розмірностях:

:<math>\pi=(t)^2(m)^0(\ell)^{-1}(\ell/t^2)^1 = 1,</math>

маємо безрозмірнісний результат.

Цей приклад простий, бо три розмірнісні величини&nbsp;— це фундаментальні одиниці, отже остання (''g'')&nbsp;— це комбінація попередніх. Зауважимо, що якщо б ''a''<sub>2</sub> було ненульовим, тоді ми не змогли б скоротити значення ''M''; звідси ''a''<sub>2</sub> ''мусить'' бути нулем. Аналіз розмірностей дозволив нам заключити, що період маятника не залежить від маси. (В 3D просторі степенів маси, часу і відстані ми можемо скзати, що вектор маси лінійно незалежить від векторів трьох інших змінних. З точністю до сталого множника, <math>\vec g + 2 \vec T - \vec L</math>&nbsp;— це єдиний нетривіальний спосіб утворити безрозмірнісний параметр.)

Тепер модель можна виразити як:

:<math>f(gT^2/L) = 0.</math>

Припускаючи, що корені ''f'' дискретні, можна сказати, що ''gT''<sup>2</sup>/''L''&nbsp;=&nbsp;''C''<sub>''n''</sub>, де ''C<sub>n</sub>''&nbsp;— ''n''-й корінь функції ''f''. Якщо існує лише один корінь, тоді ''gT''<sup>2</sup>/''L''&nbsp;=&nbsp;''C''. Необхідно більше фізичної прозорливості, що показати, що дійсно існує лише один корінь і, що стала така ''C''&nbsp;=&nbsp;4π<sup>2</sup>.

Для великих коливань маятника, аналіз ускладнюється додатковим безрозмірнісним параметром, найбільший кут відхилення. Наведений вище аналіз&nbsp;— це хороше наближення коли [[Малокутове наближення|коли кут близький до нуля]].

== Див. також ==
* [[Безрозмірнісна фізична величина]]
* [[Природні системи одиниць]]
* [[Теорія подібності]]

{{Ізольована стаття}}
[[Категорія:Аналіз розмірностей]]