Перегляд вихідного коду сторінки Векторна алгебра

В [[Математика|математиці]] і [[Лінійна алгебра|лінійній алгебрі]], '''векторна алгебра''' відноситься до [[Алгебрична операція|алгебраїчних операцій]] в [[Векторний простір|векторному просторі]]. Найчастіше, вона відноситься до операцій над [[Вектор (математика)|Евклідовими векторами]].

==Основні поняття==

'''Вектором''' у геометрії (геометричним вектором) називають напрямлений відрізок. Першу точку напрямленого відрізка називають початком вектора, а другу — кінцем вектора.

Довжиною вектора '''a''' є довжина його відрізка. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називають '''одиничним'''. 

Координатами вектора в ортогональній системі координат є його проєкції на осі координат.

== Загальний векторний простір ==
{{details|Векторний простір}}
===Додавання і віднімання===
Припустимо, що '''a''' і '''b''' це вектори, що можуть мати довільний напрям і величину. Сумою '''a''' і '''b''' буде

:<math>\mathbf{a}+\mathbf{b}
=\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)\mathbf{e}_i
=(a_1+b_1)\mathbf{e}_1
+(a_2+b_2)\mathbf{e}_2
+\cdots
+(a_n+b_n)\mathbf{e}_n.</math>

Суму векторів можна показати графічно розміщуючи початок вектора '''b''' в голові вектора '''a''', і проводячи новий вектор від початку вектора '''a''' до кінця вектора '''b'''. Новий вектор, зображений стрілкою є вектором '''a''' + '''b''', як показано нижче:

[[Image:Vector addition.svg|250px|center|Додавання двох векторів '''a''' і '''b''']]

Цей метод додавання векторів іноді називають ''правилом паралелограма'' оскільки '''a''' і '''b''' утворюють сторони [[Паралелограм|паралелограма]], а '''a''' + '''b''' є одною з його діагоналей.

Різниця двох векторів геометрично може задаватися наступним чином: для того, щоб відняти '''b''' із '''a''', треба розмістити початки векторів  '''a''' і '''b''' в одній точці, а потім провести стрілку від голови вектора '''b''' до кінця вектора '''a'''. Ця нова стрілка представляє собою вектор '''a''' − '''b''', як показано нижче:

[[Image:Vector subtraction.svg|125px|center|Віднімання двох векторів '''a''' і '''b''']]

Віднімання двох векторів також можна здійснити, якщо взяти протилежний до другого вектора і додати його до першого вектора, це буде виглядати наступним чином, '''a''' − '''b''' = '''a''' + (−'''b''').

===Множення на скаляр===
{{main article|Множення на скаляр}}

[[Image:Scalar multiplication by r=3.svg|250px|thumb|right|Скалярний добуток вектора на число 3 збільшує вектор в три рази.]]
Вектор може помножуватись, або бути ''масштабованим'', на [[Дійсні числа|дійсне число]] ''r''. В контексті [[vector analysis|традиційної векторної алгебри]], ці дійсні числа часто називають '''скалярами''' (від слова ''шкала'') аби розрізняти їх від векторів. Операція помноження вектора на скаляр називається ''скалярним добутком''. Результуючий вектор буде дорівнювати

:<math>r\mathbf{a}
=\sum_{i=1}^n (ra_i)\mathbf{e}_i
=(ra_1)\mathbf{e}_1
+(ra_2)\mathbf{e}_2
+\cdots
+(ra_n)\mathbf{e}_n.</math>

Очевидно, що помноження на скаляр ''r'' масштабує вектор на величину ''r''. Геометрично, це можна зобразити (принаймні для випадку, коли  ''r'' є цілим числом) розмістивши копії вектора ''r'' разів в лінію, так що кінець одного вектора є початком кожного наступного.

Якщо ''r'' є від'ємним числом, тоді вектор змінює напрям: він розвертається на 180°. Нижче наведені два приклади (для ''r'' = −1 і ''r'' = 2):
[[Image:Scalar multiplication of vectors2.svg|250px|thumb|left|Скалярні добутки −'''a''' і 2'''a''' вектора '''a''']]
{{clear}}

Помноження на скаляр є [[Дистрибутивність|дистрибутивною]] операцією в поєднанні з додаванням векторів у наступному розумінні: ''r''('''a''' + '''b''') = ''r'''''a''' + ''r'''''b''' для будь-яких векторів '''a''' і '''b''' і всіх скалярів ''r''.

===Скалярний добуток===
{{main article|Скалярний добуток}}

''Скалярний добуток'' двох векторів '''a''' і '''b''' (іноді називається ''[[inner product space|внутрішнім добутком]]'', але, так як в результаті отримується скаляр, частіше ''скалярним добутком'') позначається як '''a'''&nbsp;∙&nbsp;'''b''' і визначається наступним чином:

:<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta</math>

де ''θ'' це значення [[Кут]]а між векторами '''a''' і '''b''' (див [[тригонометричні функції]] для інформації про функцію косинуса). Геометрично, що вектори '''a''' і '''b''' намальовані із спільною точкою в початку векторів, потім довжина вектора '''a''' помножена на компоненту вектора '''b''', що направлена в тому самому напрямі що і '''a'''.

[[Скалярний добуток]] також можна визначити як суму добутків компонент кожного вектора, наступним чином:

:<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n</math>

==Тривимірний простір==
===Векторний добуток===
[[Image:Cross product vector.svg|thumb|right|Зображення векторного добутку]]
{{main article|Векторний добуток}}
''Векторний добуток'' (також називається ''зовнішній добуток'') має сенс лише для трьох або [[Seven-dimensional cross product|семи]] вимірів. Векторний добуток відрізняється від скалярного добутку в першу чергу тим, що результатом векторного добутку двох векторів є вектор. Векторний добуток, позначається як '''a'''&nbsp;×&nbsp;'''b''', і є вектором, що перпендикулярний обом векторам '''a''' і '''b''' і позначається як

:<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}</math>

де ''θ'' це кут між '''a''' і '''b''', а '''n''' є одиничним вектором [[Перпендикулярність|перпендикулярним]] до обох '''a''' і '''b''', який відповідає [[Правило гвинта|правилу правої руки]]. Визначення праворучної системи в даному випадку є важливим, оскільки існує ''два'' одиничних вектори, перпендикулярних до '''a''' і '''b''', а саме, '''n''' і (–'''n''').

Довжина '''a'''&nbsp;×&nbsp;'''b''' є площею паралелограма, що має сторони '''a''' і '''b'''.

Векторний добуток можна записати наступним чином
:<math>{\mathbf a}\times{\mathbf b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) {\mathbf e}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) {\mathbf e}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) {\mathbf e}_3.</math>

===Скалярний мішаний добуток===
{{main article|Мішаний добуток}}
''Мішаний добуток'' не є новою операцією над векторами, а є комбінацією існуючих двох операцій множення до трьох векторів. [[Мішаний добуток]] іноді позначається як ('''a''' '''b''' '''c''') і визначається наступним чином:

:<math>(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})
=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).</math>

Він має три основних застосування. По перше, значення вищенаведеного добутку дорівнює об'єму [[Паралелепіпед|паралелепіпеда]], сторони якого задані цими трьома векторами. По друге, мішаний добуток дорівнюватиме нулю, тоді і тільки тоді коли всі три вектори [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежні]], що можна легко довести, розглянувши ситуацію, що для того, щоб три вектори утворювали нульовий об'єм вони мають всі три лежати в одній площині. По третє, мішаний добуток буде додатнім лише коли три вектори '''a''', '''b''' і '''c''' утворюють праворучну трійку векторів.

Із використанням компонент (''у відповідності до праворучного ортогонального базису''), якщо три вектори представити у вигляді рядків (або стовбців, але в тому ж порядку), мішаний добуток є [[Визначник|визначником]] матриці 3-на-3, що містить три вектори в рядках
:<math>(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})=\left|\begin{pmatrix}
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{pmatrix}\right|</math>

Скалярний мішаний добуток є лінійним для всіх трьох елементів і анти-симетричним в наступному сенсі:
:<math>
(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) = (\mathbf{c}\ \mathbf{a}\ \mathbf{b}) = (\mathbf{b}\ \mathbf{c}\ \mathbf{a})=
 -(\mathbf{a}\ \mathbf{c}\ \mathbf{b}) = -(\mathbf{b}\ \mathbf{a}\ \mathbf{c}) = -(\mathbf{c}\ \mathbf{b}\ \mathbf{a}).</math>

== Джерела ==

* [http://matan.kpi.ua/public/files/Posibnyk%20LA+AG.pdf "Лінійна алгебра та аналітична геометрія"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141120131037/http://matan.kpi.ua/public/files/Posibnyk%20LA+AG.pdf |date=20 листопада 2014 }} В. В. Булдигін, І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Н. Р. Коновалова, Л. Б. Федорова

==Див. також==
* [[Геометрична алгебра]]
* [[Кватерніони]]

{{Лінійна алгебра}}
[[Категорія:Алгебра]]