Перегляд вихідного коду сторінки Аксіома

'''Аксіо́ма''' ({{lang-el|axiōma; кор. axio (достойність)}}, [[Українська мова|укр]]. гідність, гідне) — твердження, яке вважається правильним без [[доведення]], щоб слугувати точкою початку роздумів і аргументів. [[Синонім]] — [[постулат]]. 

# Вихідне положення, самоочевидний принцип. У дедуктивних наукових теоріях аксіомами називають основні вихідні положення чи [[твердження]] якоїсь теорії, що приймаються без [[доведення|доведень]] і з яких шляхом [[дедукція|дедукції]], тобто чисто [[логіка|логічними]] засобами, одержують весь інший її зміст. (''Див.'' [[Аксіоматичний метод]])
# У переносному значенні — те, що не потребує жодних доведень.
# Твердження, заперечення якого заперечує основи [[логіка|логічного]] [[мислення]].

== Історія ==

Початкові геометричні відомості дійшли до нас з глибокої давнини. Наприклад, формули для обчислення площ земельних ділянок, що мають форму [[Прямокутник|прямокутника]], [[Трикутник|трикутника]], [[Трапеція|трапеції]], знайдено в староєгипетських математичних папірусах, які належать до 3000&nbsp;р. до н.&nbsp;е., в клинописних таблицях стародавнього [[Вавилон|Вавилону]].

Початкові [[Геометрія|геометричні]] знання добуті дослідним шляхом. Отримання нових геометричних фактів шляхом міркувань (доведень) почалося від давньогрецького вченого [[Фалес]]а (VI ст. до н.&nbsp;е.). Йому приписують встановлення властивостей рівнобедреного [[трикутник]]а, доведення рівності вертикальних [[кут]]ів, доведення того, що вписаний кут, який спирається на діаметр,&nbsp;— прямий (має 90°), та інше. Фалес, очевидно, застосовував поворот частини фігури і перегинання креслення, тобто перетворення, які зараз називають переміщеннями чи рухами (див. [[Геометричні перетворення]]).

Поступово докази геометрії набувають дедалі більшого значення. До III ст. до н.&nbsp;е. геометрія стає [[дедукція|дедуктивною]] наукою, тобто наукою, в якій більшість фактів встановлюється шляхом виведення (дедукції), доведень. В ті часи давньогрецький учений [[Евклід]] написав книгу «<nowiki/>[[Начала Евкліда|Начала]]<nowiki/>», в якій сформулював і довів властивості [[паралелограм]]ів і [[трапеція|трапецій]], [[теорема Піфагора|теорему Піфагора]], розглянув подібність [[многокутник]]ів, висвітлив багато інших геометричних фактів.

У книзі Евклід проводить аксіоматичний погляд на геометрію. Точка зору Евкліда була такою: для довільної [[Теорема|теореми]] можна простежити, які раніше доведені теореми були використані для її доведення. Для цих раніше доведених теорем у свою чергу можна виділити ще простіші факти, з яких вони виводяться, і&nbsp;так&nbsp;далі. Зрештою, можна отримати набір деяких фактів, що дають змогу довести всі теореми геометрії. Ці факти настільки прості, що не виникає питання необхідності їхнього доведення. Їх і назвали аксіомами. Весь набір аксіом (система) називають ''[[Аксіоматичний метод|аксіоматикою]]''. 

Отже, аксіоми&nbsp;— це початкові факти геометрії, які приймаються без доведень і дають змогу доводити з них всі подальші факти цієї науки. Твердження, доведені з аксіом, називають [[Теорема|теоремами]].

Серед сформульованих Евклідом аксіом є, наприклад, такі: «через дві точки можна провести пряму»; «попарно рівні третьому рівні між собою»; «якщо на площині дані пряма і точка, що лежить поза цією прямою, то через цю точку можна провести на площині не більше однієї прямої, яка не перетинається з цією прямою» (остання аксіома&nbsp;— аксіома паралельності&nbsp;— в Евкліда формулювалася трохи інакше).

Аксіоми є не лише в геометрії, а й в [[Алгебра|алгебрі]] та інших математичних науках. Наприклад, рівності:

<math>a + b = b + a</math>

<math>a + (b + c) = (a + b) + c</math>

<math>a+0=a</math>

<math>a+(-a)=0</math>

<math>a*b = b*a</math>

<math>a(bc) = (ab)c</math>

<math>a*1 = a</math>

<math>a(1/a)=1</math>, (<math>a!=0</math>)

<math>a(b+c)=ab+ac</math> ,

які відображають властивості додавання і множення, є в алгебрі аксіомами: вони приймаються без доведення і використовуються для доведення нових фактів (доведення теорем). Наприклад, за допомогою аксіом доводять формули квадрата суми чи різниці, правила множення багаточленів, формули суми членів [[Геометрична прогресія|геометричної прогресії]] та інші.

В [[Математика|математичній науці]] аксіоми виникають в процесі її тривалого і складного історичного розвитку. Початкові факти накопичуються в процесі практичної діяльності людини. Їх перевіряють, уточнюють, систематизують. Виключають з них ті, які можуть бути отримані з інших початкових фактів. Іноді виявляється, що отриманий список найпростіших фактів (аксіом)&nbsp;неповний, тобто цих фактів недостатньо для виведення всіх теорем, і тоді до цього списку додають відсутні аксіоми. В результаті виходить повний набір аксіом (аксіоматика). Після Евкліда математики багатьох поколінь прагнули поліпшити, доповнити його аксіоматику геометрії. Велику роль зіграли роботи сучасника Евкліда, давньогрецького вченого [[Архімед]]а, який сформулював аксіоми, що стосуються вимірювання геометричних величин. Істотний внесок в удосконалення аксіоматики геометрії внесли [[Лобачевський Микола Іванович|М.&nbsp;І.&nbsp;Лобачевський]], М. Паш, [[Джузеппе Пеано|Д.&nbsp;Ж.&nbsp;Пеано]]. Логічно бездоганний список аксіом геометрії подав на межі XIX і ХХ ст. німецький математик [[Давид Гільберт|Д. Гільберт]].

== Див. також ==
{{Вікіцитати1}}
* [[Аксіоми евклідової геометрії]]
* [[Аксіоматика Гільберта]]
* [[Аксіоматика Колмогорова (геометрія)]]
* [[Аксіоматика Александрова (геометрія)|Аксіоматика Александрова]]
* [[Аксіома вибору]]
* [[Аксіома Архімеда]]
* [[Аксіома об'ємності]]
* [[Аксіома регулярності]]
* [[Аксіоми біології]]
* [[Аксіоми Пеано|Аксіома повної індукції]]
* [[Аксіоми віддільності|Аксіома Колмогорова]]
* [[Аксіома булеана]]
* [[Аксіоматика]]
** [[Аксіоматика теорії множин]]
** [[Аксіоматика дійсних чисел]]
** [[Аксіоматика Евкліда]]
** [[Аксіоматика Гільберта]]
* [[Аксіомна схема]]
* [[Логіка]]
* [[Математична логіка]]
* [[Теореми Геделя про неповноту]]
* [[Гіпотеза]]
* [[Аксіома паралельності Евкліда]]
* [[Евклід]]
* [[Формалізм (математика)]]
* [[Система відліку]]
* [[Факт]]
* [[Теорема]]
* [[Теорія множин]]
* [[Теорія категорій]]
* [[Трюїзм]]
==Література==
* Акіома // {{ФЕС}}
== Посилання ==
* [https://vue.gov.ua/Аксіома Аксіома] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200804104319/https://vue.gov.ua/Аксіома |date=4 серпня 2020 }} // [[ВУЕ]]
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Математичні аксіоми|*]]
[[Категорія:Математична термінологія]]
[[Категорія:Формальні системи]]
[[Категорія:Поняття в логіці]]
[[Категорія:Логіка]]