சமச்சீர் பல்லுறுப்பு

கணிதத்தின் எல்லாத்துறைகளிலும் மற்றும் கணிதத்தின் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் சமச்சீர் கருத்து அடிக்கடி தோன்றுமென்பது எதிர்பார்க்கத்தக்கதே.பல்லுறுப்பு என்ற கணிதக்கருத்தோடு சமச்சீர் கருத்து உறவாடும்போது ஏற்படும் எல்லா கணிதச் சூழ்நிலைகளையும் உருவகப்படுத்துவதுதான் சமச்சீர் பல்லுறுப்பு அல்லது சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை (Symmetric polynomial) அல்லது சமச்சீர் சார்பு பற்றிய கோட்பாடு. இது முக்கியமாக சேர்வியல் என்ற கணிதத்துறையில் ஆய்வு பெறப்படும்.

வரையறை

${\mathcal {P}}$(α₁, α₂, ... , α_n) என்ற பல்லுறுப்பின் மாறிகள் α₁, α₂, .... , α_n இன் எந்த வரிசைமாற்றத்திற்கும் பல்லுறுப்பு மாறாமல் இருந்தால் அப்பல்லுறுப்பு சமச்சீர் பல்லுறுப்பு அல்லது சமச்சீர் சார்பு எனப்படும். குறிப்பாக, இதை n மாறிகளின் சமச்சீர் பல்லுறுப்பு என்று கூறுவதுண்டு.

எடுத்துக்காட்டுகள்

1. α³ + β³ + γ³.

2.α²β + α²γ + β²α + β²γ +γ²α + γ²β

3. α₁.α₂... .α_n

இவைகளை 'Σ' குறியீடு கொண்டும் குறிப்பிடமுடியும்; ஆனால் அதற்கு, எத்துணை மாறிகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன என்ற கருதுகோள் தொக்கிநிற்கவேண்டும். அப்படி நின்றால் மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளனைத்தையும் சுருக்கமாகக் கீழே கண்டபடி எழுதலாம்:

1.Σα³

2.Σα²β

3.α₁.α₂... .α_n இதனில் இருப்பதே ஓருறுப்பு தான். அதனால் 'Σ' குறியீடு தேவையில்லை.

மாற்று வரையறைக்கான முன்னோடி

α₁, α₂, ... , α_n ஆகிய n குறியீடுகளைக்கொண்டு தொடங்கலாம். இவைகள் கணிதமாறிகளாக இருக்கவேண்டியதுமில்லை. N என்பது ஒரு முழு நேர்ம எண்ணாகவும்,

λ = (λ₁ λ₂....λ_p) என்பதை N இன் ஒரு பிரிவினை (partition)யாகவும் கொள். இப்பிரிவினையில் ஓர் அடிப்படை மரபொழுங்கையும் பின்பற்றுவோம்; அ-து,

λ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ λ_p > 0 ; மற்றும் p ≤ n.

λ, N இன் பிரிவினை என்பதை λ $\vdash$ N என்ற குறியீட்டால் சுருக்கமாக எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக (31) என்பது எண் 4 இன் பிரிவினை. (31) $\vdash$ 4

(22) என்பதும் எண் 4 இன் பிரிவினை. இதையே (2²) என்றும் எழுதுவதுண்டு. (2²) $\vdash$ 4.

(5), (41), (32), 4.

(31²), ((2²)1),(21³), (1⁵)

ஆகிய ஏழும் எண் 5 இன் பிரிவினைகள்.

ஓரங்க சமச்சீர் சார்பு

ஓரங்க சமச்சீர் சார்பின் (Monomial symmetric function) குறியீடு k_λ. இதன் விரிவாக்கத்தை சில எடுத்துக்காட்டுகளால் புரிந்துகொள்வது எளிது.

k₍₃₁₎ = Σα₁³α₂

= α₁³α₂ + α₁³α₃ + α₁³α₄ + ... + α₁³α_n + α₂³α₁ + α₂³α₃ + α₂³α₄ + ..... .Σ. + ....

k_(2²) = Σα₁<Σsup>2 α₂²

= α₁² α₂² + α₁² α₃² + α₁² α₄² + .... + α₂² α₃² + α₂² α₄² + .... + α₃² α₄² + .... + ....

பொதுவாக, k_λ = Σ α₁^λ₁ α₂^λ₂ .... α_p^λ_p. இன்னொரு குறியீடும் இதற்கு உண்டு. அ-து,

k_λ = <λ>.

ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு

ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு (Complete Homogeneous Symmetric Function):

h_N = Σ_λ$\vdash$N k_λ.

எடுத்துக்காட்டாக,

h₄ = <4> + <31> + <2²> + <21²> + <1⁴> (*)

= Σ α₁⁴ + Σ α₁³ α₂ + Σ α₁² α₂² + Σ α₁² α₂ α₃ + Σ α₁ α₂ α₃ α₄.

இங்கு ஒரு விஷயம் கவனிக்கப்படவேண்டும். குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை n ஐப்பற்றியது.

n < 1 ஆக இருக்குமானால், (*)இல், பின் நான்கு உறுப்புகளும் இருக்காது, அ-து, மறைந்துவிடும்.

n = 2 ஆக இருக்குமானால், (*)இல், பின் இரண்டு உறுப்புகளும் மறைந்துவிடும்.

n = 3 ஆக இருக்குமானால், (*)இல்,கடைசி உறுப்பு மறைந்துவிடும்.

n ≥ 4 ஆக இருக்குமானால், (*)இல், எல்லாஐந்து உறுப்புகளும் மறையாமல் இருக்கும்.

இப்பொழுது ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது,

h_λ = h_λ1 h_λ2 ... h_λp

எடுத்துக்காட்டாக,

h₍₃₁₎ = h₃ h₁ = (Σ α₁³ + Σ α₁² α₂ + Σ α₁ α₂ α₃)(Σα₁).

h_(2²) = h₂ h₂ = (Σ α₁² + Σ α₁α₂)².

தனித்த சமச்சீர் சார்பு

தனித்த சமச்சீர் சார்பு (Elementary Symmetric Function):

a_N = k_(1^N).

எ.கா. a₄ = Σ α₁α₂α₃α₄

a₄ சூன்ய உறுப்பாக இல்லாமல் இருப்பதற்கு, n ≥ 4 உண்மையாக இருக்கவேண்டும்.

இப்பொழுது தனித்த சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது,

a_λ = a_λ1 a_λ2 ... a_λp.

எ.கா. a₍₃₁₎ = a₃ a₁ = (Σ α₁α₂α₃)(Σα₁).

a_(2²) = a₂a₂ = (Σ α₁α₂)².

அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு

அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு (Power Sum Symmetric function):

s_N = k_(N) = Σα₁^N

குறிப்பு: ஒரு குறியீடு இருந்தாலும் s_N சூன்யமாகாது.

இப்பொழுது அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது

s_λ = s_λ1 s_λ2 ... s_λp.

எ.கா.: s₄ = Σα₁⁴.

s₍₃₁₎ = (Σα₁³) (Σα₁).

s_(2²) = s₂s₂ = (Σα₁²)²

முக்கிய விளைவு: (λ) = (1,1, ...λ₁முறை,2,2, ...λ₂முறை, ..., p,p, ...λ_pமுறை) என்று கொண்டால், அதாவது, (λ) = (1^λ₁2^λ₂3^λ₃ .... ) என்று கொண்டால்,

s_λ = s₁^λ₁s₂^λ₂s₃^λ₃ ....

சமச்சீர் சார்புகளின் நேரியல் அளாவல்

ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண் N உடைய எல்லாப்பிரிவினைகள் λ வுக்கும் அவைகளுக்கு இணைவான k_λ க்கள் எல்லாம் கொண்ட கணத்தை SYM_N என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவோம். இக்கணத்தில்,

Σ α₁^λ₁ α₂^λ₂ .... α_p^λ_p + Σ α₁^μ₁ α₂^μ₂ .... α_q^μ_q ::

என்பது கூட்டல் வரையறை ஆகும்.

மற்றும் Q என்ற விகிதமுறு எண்களின் களத்தை அளவெண்களமாகக் கொண்டால்,

a x Σ α₁^λ₁ α₂^λ₂ .... α_p^λ_p = Σaα₁^λ₁ α₂^λ₂ .... α_p^λ_p

என்ற வரையறை அளவெண் பெருக்கலின் வரையறை ஆகும்.

இவ்விரண்டு செயல்பாடுகளுக்கு SYM_N நேரியல் வெளியாகின்றது.

இவ்வெளிக்கு அடுக்களம் {k_λ, λ $\vdash$ N} : பரிமாணம் p(N), அ-து, N உடைய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை. இதைவிட மேலாக பின்வரும் தேற்றமே நிறுவப்படக்கூடியது .

தேற்றம்: {k_λ, λ $\vdash$ N}, {a_λ, λ $\vdash$ N}, {h_λ, λ $\vdash$ N}, {s_λ, λ $\vdash$ N}, -- இவை நான்குமே ஒவ்வொன்றும் SYM_N க்கு அடுக்களமாக அமைகின்றது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு