Ett Bernsteinpolynom är ett polynom och definieras som
![{\displaystyle B_{k}^{n}(t)={n \choose k}t^{k}(1-t)^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a126797cbf4a99c8faaeb4248580e3e59389983)
Parametern t hålls inom intervallet [0, 1] och polynomet kommer att ha ett maximum då t = k / n.
Bernsteinpolynom används exempelvis vid konstruktion av Bezierkurvor.
Nedan är de första Bernsteinpolynomen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\\b_{0,4}(x)&=(1-x)^{4},&b_{1,4}(x)&=4x(1-x)^{3},&b_{2,4}(x)&=6x^{2}(1-x)^{2},&b_{3,4}(x)&=4x^{3}(1-x),&b_{4,4}(x)&=x^{4}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f754805c0d039a14576fd9b324906a35164d71)
I grafen nedan är
utritad för olika värden på k.
En viktig egenskap hos Bernsteinpolynomen är att
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}B_{k}^{n}(t)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569b257e74197d22aae6a215136a72f486b292c3)
för alla t, vilket gör att man kan addera punkter med hjälp av Bernsteinpolynom.
Bernsteinpolynomen har följande derivata:
.
- Råde, Lennart; Bertil Westergren (2004). Mathematics Handbook BETA. Studentlitteratur. sid. 404. ISBN 91-44-03109-2