Polygon

För webbplatsen, se Polygon (webbplats).

Polygoner eller månghörningar är ett samlingsnamn för tvådimensionella geometriska figurer i form av slutna kurvor bestående av ett ändligt antal räta linjesegment i planet. Med undantag av triangeln och fyrhörningen (trapetset) har dessa fått namn efter motsvarande grekiska räkneord med efterledet -gon, från ett klassiskt grekisk ord för vinkel eller hörn; se listan till höger.

De sträckor som utgör delarna av randen kallas polygonens sidor och sidornas ändpunkter kallas polygonens hörn eller vertices (singular vertex). Alla polygoner har lika många sidor som hörn. Polygoner i vilka alla inre vinklar är mindre än 180 grader kallas konvexa; om någon inre vinkel är större än 180 grader är polygonen konkav. Polygon är det tvådimensionella fallet av det mer allmänna polytop.

Regelbundna polygoner

I regelbundna eller reguljära polygoner, är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. Dit hör

En regelbunden polygon har Schläfli-symbolen $\left\{n\right\}$ där $n$ anger antalet hörn (eller sidor).

Area

Arean hos en polygon med n sidor kan beräknas som summan av areorna hos n - 2 trianglar, som kan bildas genom att dra n - 3 icke-skärande diagonaler mellan icke närliggande hörn.

Exempel: Om vi i en fyrhörning drar en linje mellan två hörn som inte ligger intill varandra delas fyrhörningen i två trianglar (fyra hörn, två trianglar, en linje). För varje hörn vi lägger till måste vi dra en linje till och får som resultat en triangel till.

Om koordinaterna till en polygons hörn är kända, kan arean beräknas med hjälp av koordinatareaformeln.

Arean av en regelbunden $n$ -hörning med sidlängden $s$ är:

A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}

Härledning

Med den inskrivna cirkelns radie som

r

och polygonens sidlängd som

s

får vi arean

A_{\triangle }

av den rätvinkliga triangeln med katetlängderna

r

och

{\frac {s}{2}}

till

A_{\triangle }={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {s}{2}}\cdot r\Leftrightarrow A_{\triangle }={\frac {s}{4}}\cdot r

Vi har att

\cot \alpha ={\frac {r}{\left({\frac {s}{2}}\right)}}={\frac {2r}{s}}\Leftrightarrow r={\frac {s\cdot \cot \alpha }{2}}

där

\alpha

är denna triangels hörnvinkel i polygonens (och dess inskrivna cirkel) mittpunkt.

Vi har också att polygonen består av

2n

sådana här trianglar, alltså

2\cdot \alpha \cdot n=2\pi \Leftrightarrow \alpha ={\frac {\pi }{n}}

och sålunda:

A=2n\cdot A_{\triangle }=2n\cdot {\frac {s}{4}}\cdot r={\frac {ns}{2}}\cdot {\frac {s\cdot \cot \alpha }{2}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}

Vinklar

Vinkelsumman i en polygon med n hörn är $\pi \cdot n-2\pi$ radianer. Detta kan visas genom att välja en godtycklig punkt inne i polygonen och från denna dra sträckorna till polygonens samtliga hörn. Då bildas n stycken trianglar, alla med vinkelsumman $\pi$ . Drar man sedan bort summan av vinklarna kring den valda punkten i polygonen, vilka är $2\pi$ , kvarstår summan av polygonens vinklar.

Hörnvinklarna i en regelbunden polygon är $\textstyle {{\frac {n-2}{n}}\pi }$ .

Datorgrafik

Inom datorgenererad grafik används polygoner för att bygga upp nästan all grafik inom såväl datoranimerad film som datorspel.

Komplex polygon
Enkel konkav polygon
Regelbunden polygon

Lista över polygoner

Namn	Hörn	Anmärkningar
Henagon (eller monogon)	1	I det euklidiska planet degenererar den till en sluten kurva med en enda hörnpunkt på den. Enligt vissa definitioner av en polygon är en henagon inte en äkta polygon.
Digon	2	I det euklidiska planet degenererar den till en sluten kurva med två hörnpunkter.
Triangel (eller trigon)	3	Den enklaste polygonen som kan existera i det euklidiska planet.
Fyrhörning (eller tetragon)	4	Den enklaste polygonen vars sidor kan korsa sig, den enklaste polygonen som kan vara konkav. En regelbunden tetragon kallas kvadrat, en liksidig men ej rätvinklig tetragon kallas romb, en rätvinklig men ej liksidig tetragon kallas rektangel.
Pentagon	5	Den enklaste polygonen som kan existera som en regelbunden stjärna. En femhörnig stjärnpolygon kallas även pentagram.
Hexagon	6
Heptagon	7	Den enklaste polygonen där den regelbundna formen inte är konstruerbar med passare och linjal. Den kan dock konstrueras med användning av Neusis konstruktion.
Oktagon (eller oktogon)	8
Nonagon (eller enneagon)	9
Dekagon	10
Hendekagon (eller undekagon)	11	Den enklaste polygonen där den regelbundna formen inte kan konstrueras med passare, linjal och vinkelns tredelning.
Dodekagon	12
Tridekagon (eller triskaidekagon)	13
Tetradekagon (eller tetrakaidekagon)	14
Pentadekagon (eller pentakaidekagon)	15
Hexadekagon (eller hexakaidekagon)	16
Heptadekagon (eller heptakaidekagon)	17
Oktadekagon (eller octakaidekagon)	18
Nonadekagon (eller enneadekagon)	19
Ikosagon	20
Ikosihenagon	21
Ikosidigon	22
Ikositrigon	23
Ikositetragon	24
Ikosipentagon	25
Triakontagon	30
Triakontadigon	32
Tetrakontagon	40
Tetrakontaoktogon	48
Pentakontagon	50
Hexakontagon	60
Heptakontagon	70
Hektogon (eller centagon)	100
Chiliagon	1000
Myriagon	10000
Megagon^[1]^[2]^[3]	1000000
Apeirogon	$\infty$	En degenererad polygon med oändligt många sidor.

Se även

Referenser

^ Gibilisco, Stan (2003). Geometry demystified (Online-Ausg.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-141650-4
^ Darling, David J., The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes, John Wiley & Sons, 2004. Page 249. ISBN 0-471-27047-4.
^ Dugopolski, Mark, College Algebra and Trigonometry, 2nd ed, Addison-Wesley, 1999. Page 505. ISBN 0-201-34712-1.

Externa länkar

Wikimedia Commons har media som rör Polygon.
Bilder & media

[1] Gibilisco, Stan (2003). Geometry demystified (Online-Ausg.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-141650-4

[Darling-2] Darling, David J., The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes, John Wiley & Sons, 2004. Page 249. ISBN 0-471-27047-4.

[3] Dugopolski, Mark, College Algebra and Trigonometry, 2nd ed, Addison-Wesley, 1999. Page 505. ISBN 0-201-34712-1.

[1]

[2]

[3]