Извор странице Reloov trougao

[[Датотека:ReuleauxTriangle.svg|оквир|десно|250px|Reloov trougao je slika sa konstantnim prečnikom, bazirana na jednakostraničnom trouglu. Rastojanja od bilo koje tačke krive do suprotnog temena su sva ista.]]

'''Reloov poligon''' je [[kriva konstantne širine]] - to jest, kriva čiji su svi prečnici iste dužine.<ref>{{harvtxt|Gardner|2014}} calls it the simplest, while {{harvtxt|Gruber|1983|page=59}} calls it "the most notorious".</ref> Najpoznatiiji oblik je '''Reloov trougao'''. Ime je dobio po [[Franc Rolo|Francu Rolou]], nemačkom inženjeru iz 19. veka, mada je trougao bio poznat i pre njega. Reloov trougao je najprostiji netrivijalni primer krive sa konstantnom širinom - kriva kod koje su ista rastojanja dve suprotne paralelne [[tangenta|tangente]], nebitno od smera tih paralela. (Trivijalni primer je [[krug]].)

Reloov poligon se formira od preseka tri [[Кружница|kružna diska]], od kojih svaki ima centar na granici druga dva. Konstantna širina znači da je razdvajanje svake dve paralelne [[supporting line|noseće linije]] isto, nezavisno od njihove orijentacije. Pošto su svi njegovi prečnici isti, Reloov trougao je jedan odgovor na pitanje „Osim kruga, kakav oblik može da poprimi [[manhole cover|poklopac šahta]] tako da ne može da padne kroz rupu?“<ref>{{citation
 | last = Klee | first = Victor | author-link = Victor Klee
 | doi = 10.2307/3026963
 | issue = 2
 | journal = The Two-Year College Mathematics Journal
 | pages = 14–27
 | title = Shapes of the future
 | volume = 2
 | year = 1971| jstor = 3026963 }}.</ref>

Reloovi trouglovi se takođe nazivaju ''sfernim trouglovima'', ali taj termin se tačnije odnosi na trouglove na zakrivljenoj površini [[sphere|sfere]]. Oni su nazvani po [[Franz Reuleaux|Francu Rolou]],<ref name="icons">{{citation|title=Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images|volume=45|series=Dolciani Mathematical Expositions|first1=Claudi|last1=Alsina|first2=Roger B.|last2=Nelsen |publisher=Mathematical Association of America|year=2011|isbn=978-0-88385-352-8|at=[https://books.google.com/books?id=4DavMl7-aFgC&pg=PA155 p. 155]|title-link= Icons of Mathematics}}.</ref> nemačkom inženjeru iz 19. veka koji je bio pionir proučavanja mašina za prevođenje jedne vrste kretanja u drugu, i koji je koristio Roloove trouglove u svojim dizajnima.<ref>{{citation|title=The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century|volume=2|series=History of Mechanism and Machine Science|first=F. C.|last=Moon |publisher=Springer |year=2007|isbn=978-1-4020-5598-0}}.</ref> Međutim, ovi oblici su bili poznati pre njegovog vremena, na primer od strane dizajnera [[Gothic architecture|gotskih]] crkvenih prozora, od [[Leonardo da Vinci|Leonarda da Vinčija]], koji ih je koristio za [[Octant projection|projekciju karte]], i od [[Leonhard Euler|Leonarda Ojlera]] u svojoj studiji oblika konstantne širine. Ostale primene Reloovog trougla uključuju davanje oblika [[guitar pick|trzalicama]] za gitaru, navrtkama za [[fire hydrant|hidrant]] protiv požara, [[olovka]]ma i [[burgija]]ma za bušenje kvadratnih rupa sa [[Fillet_(mechanics)|filetom]], kao i u grafičkom dizajnu u obliku nekih znakova i korporativnih logotipa.

Među oblicima konstantne širine sa datom širinom, Reloov trougao ima minimalnu površinu i najoštriji (najmanji) mogući ugao (120°) u svojim uglovima. Po nekoliko numeričkih mera, on je najudaljeniji od [[central symmetry|centralno simetričnog]]. On obezbeđuje najveći oblik konstantne širine izbegavajući tačke [[integer lattice|celobrojne rešetke]] i usko je povezan sa oblikom četvorougla maksimizirajući odnos perimetra i prečnika. On može da izvrši potpunu rotaciju unutar kvadrata dok u svakom trenutku dodiruje sve četiri strane kvadrata i ima najmanju moguću površinu oblika sa ovim svojstvom. Međutim, iako pokriva većinu kvadrata u ovom procesu rotacije, ne uspeva da pokrije mali deo površine kvadrata, blizu njegovih uglova. Zbog ove osobine rotacije unutar kvadrata, Reloov trougao je ponekad poznat i kao ''Reloov rotor.''<ref name="howround" />

== Konstrukcija ==
[[Датотека:Reuleaux triangle Animation.gif|мини|250п|десно|Reloov trougao koji rotira u kvadratu konstantnih dimenzija]]

Konstrukcija Reloovog trougla počinje na jednakostraničnom [[trougao|trouglu]].<ref name="hann">{{citation|title=Structure and Form in Design: Critical Ideas for Creative Practice|first=Michael|last=Hann|publisher=A&C Black|year=2014|isbn=978-1-4725-8431-1|page=34|url=https://books.google.com/books?id=-CX-AgAAQBAJ&pg=PA34}}.</ref> [[Šestar]] se postavi u jedno od temena i opiše [[krug|kružni luk]] između druga dva temena.<ref>{{citation
 | last = Hungerbühler | first = Norbert
 | doi = 10.2307/2974536
 | issue = 8
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 1299166
 | pages = 784–787
 | title = A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem
 | volume = 101
 | year = 1994| jstor = 2974536
 | citeseerx = 10.1.1.45.9902
 }}.</ref> To se ponovi i za ostala temena. Zatim se obriše početni trougao. Rezultat je kriva sa konstantnom širinom. Ekvivalentno, za dati trougao ''T'' čije su stranice ''a'', uzeti granicu [[preseka]] kružnica sa poluprečnikom ''a'' koje su konstruisane iz temena ''T''.

Po [[Blaške-Lebegova teorema|Blaške-Lebegovoj teoremi]], Reloov trougao ima najmanju površinu od svih krivih konstantne širine. Ta površina je <math>{1\over2}(\pi - \sqrt3)r^2</math>, gde je ''-{r}-'' konstantni [[poluprečnik]].

Reloov trougao može da se generalizuje na pravilne poligone sa neparnim brojem stranica. Tako su, na primer, izrađeni [[Уједињено Краљевство|britanski]] [[novčić]]i od 20 i 50 [[peni]]ja.

== Matematička svojstva ==
[[File:Reuleaux supporting lines.svg|thumb|250px|Paralelne [[supporting line|noseće linije]] Roloovog trougla]]

Najosnovnije svojstvo Roloovog trougla je da ima konstantnu širinu, što znači da za svaki par paralelnih [[supporting line|nosećih linija]] (dve linije istog nagiba koje obe dodiruju oblik bez da prelaze kroz njega) dve prave imaju isto međusobno [[Euclidean distance|Euklidsko rastojanje]], bez obzira na orijentaciju ovih linija.<ref name="gardner">{{citation|title=Knots and Borromean Rings, Rep-Tiles, and Eight Queens|volume=4|series=The New Martin Gardner Mathematical Library|first=Martin|last=Gardner|author-link=Martin Gardner|publisher=Cambridge University Press|year=2014|isbn=978-0-521-75613-6 |contribution= Chapter 18: Curves of Constant Width|pages=223–245}}.</ref> U bilo kom paru paralelnih nosećih linija, jedna od dve prave će nužno dodirnuti trougao u jednom od njegovih vrhova. Druga potporna linija može dodirnuti trougao u bilo kojoj tački suprotnog luka, a njihovo rastojanje (širina Roloovog trougla) je jednaka poluprečniku ovog luka.<ref name="mj14">{{citation|title=Beautiful Geometry|first1=Eli|last1=Maor|first2=Eugen|last2=Jost|publisher=Princeton University Press|year=2014|isbn=978-1-4008-4833-1|contribution=46 The Reuleaux Triangle|pages=154–156|url=https://books.google.com/books?id=0fOKAQAAQBAJ&pg=PA154}}.</ref>

Prvi matematičar koji je otkrio postojanje krivih konstantne širine i primetio da Roloov trougao ima konstantnu širinu, verovatno je bio [[Leonard Ojler]].<ref name="howround">{{citation|title=How Round Is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet|title-link=How Round Is Your Circle|first1=John|last1=Bryant|first2=Chris|last2=Sangwin|publisher=Princeton University Press|year=2011 |isbn= 978-0-691-14992-9 |at=[https://books.google.com/books?id=2lXgO3xKcxAC&pg=PA190 p. 190]}}.</ref> U radu koji je predstavio 1771. i objavio 1781. pod naslovom -{''De curvis triangularibus''}-, Ojler je proučavao [[Curve|krivolinijske]] trouglove kao i krive konstantne širine, koje je nazvao orbiformama.<ref name="reich">{{citation|contribution=Euler's contribution to differential geometry and its reception|first=Karin|last=Reich|author-link= Karin Reich |title=Leonhard Euler: Life, Work and Legacy|series=Studies in the History and Philosophy of Mathematics|volume=5|year=2007|pages=479–502|doi=10.1016/S0928-2017(07)80026-0|editor1-first=Robert E.|editor1-last=Bradley|editor2-first=Ed|editor2-last=Sandifer|publisher=Elsevier|isbn=9780444527288}}. See in particular section 1.4, "Orbiforms, 1781", [https://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA484 pp. 484–485].</ref><ref>{{citation|first=Leonhard|last=Euler|author-link=Leonhard Euler|title=De curvis triangularibus|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E513.html|journal=Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae|volume=1778|year=1781|pages=3–30|language=la}}. See in particular p.&nbsp;7 for the definition of orbiforms.</ref>

=== Ekstremne mere ===

Po mnogim različitim merama, Reloov trougao je jedna od najekstremnijih krivih konstantne širine.

Po [[Blaschke–Lebesgue theorem|Blašk-Lebegovoj teoremi]], Roloov trougao ima najmanju moguću površinu bilo koje krive date konstantne širine. Ova oblast je
:<math>\frac{1}{2}(\pi - \sqrt3)s^2 \approx 0,70477s^2,</math>
gde je -{''s''}- konstantne širine. Jedna metoda za izvođenje ove formule površine je da se Roloov trougao podeli na unutrašnji jednakostranični trougao i tri krivolinijska regiona između ovog unutrašnjeg trougla i lukova koji formiraju Roloov trougao, a zatim se dodaju površine ova četiri skupa. U drugom ekstremu, kriva konstantne širine koja ima najveću moguću površinu je [[Disk (mathematics)|kružni disk]], koji ima površinu <math>\pi s^2 / 4\approx 0,78540s^2</math>.<ref name="gruber">{{citation|title=Convexity and its Applications|first=Peter M.|last=Gruber|publisher=Birkhäuser|year=1983|isbn=978-3-7643-1384-5|page=[https://archive.org/details/convexityitsappl0000unse/page/67 67]|url=https://archive.org/details/convexityitsappl0000unse/page/67}}</ref>

Svi uglovi koje stvara svaki par lukova u uglovima Roloovog trougla su jednaki 120°. Ovo je najoštriji mogući ugao na bilo kom [[vertex (geometry)|vrhu]] bilo koje krive konstantne širine.<ref name="gardner" /> Pored toga, među krivima konstantne širine, Roloov trougao je onaj sa najvećim i najmanjim upisanim jednakostraničnim trouglom.<ref>{{harvtxt|Gruber|1983|page=76}}</ref> Najveći jednakostranični trougao upisan u Roloov trougao je onaj koji spaja njegova tri ugla, a najmanji je onaj koji spaja tri [[midpoint|sredine]] njegovih stranica. Podskup Reloovih trouglova koji se sastoje od tačaka koje pripadaju u tri ili više prečnika je unutrašnjost većeg od ova dva trougla; on ima veću površinu od skupa tačaka tri prečnika bilo koje druge krive konstantne širine.<ref>{{citation
 | last = Makeev | first = V. V.
 | doi = 10.1023/A:1021287302603
 | issue = Geom. i Topol. 5
 | journal = Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI)
 | mr = 1809823
 | pages = 152–155, 329
 | title = An extremal property of the Reuleaux triangle
 | volume = 267
 | year = 2000| s2cid = 116027099
 }}.</ref>

[[File:Symmetry measure of Reuleaux triangle.svg|thumb|left|250px|Centralno simetrični oblici unutar i izvan Reloovog trougla, koji se koriste za merenje njegove asimetrije]]
Iako Reloov trougao ima šestostruku [[dihedral symmetry|dihedralnu simetriju]], isto kao i [[equilateral triangle|jednakostranični trougao]], on nema [[central symmetry|centralnu simetriju]]. Reloov trougao je najmanje simetrična kriva konstantne širine u pogledu dve različite mere centralne asimetrije, [[Kovner–Besicovitch measure|Kovner-Besikovič meri]] (odnos površine prema najvećem [[central symmetry|centralno simetričnom]] obliku zatvorenom krivom) i [[Estermann measure|Estermanovoj meri]] (odnos površine prema najmanjem centralno simetričnom obliku koji obuhvata krivu). Za Reloov trougao, dva centralno simetrična oblika koji određuju mere asimetrije su oba [[hexagon|heksagonalna]], iako unutrašnji ima zakrivljene stranice.<ref name="finch">{{citation|contribution-url=http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/rx.pdf|contribution=8.10 Reuleaux Triangle Constants|first=Steven R.|last=Finch|pages=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/513 513–514]|title=Mathematical Constants|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=978-0-521-81805-6|url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/513}}.</ref> Reloov trougao ima prečnike koji dele njegovu površinu neravnomernije od bilo koje druge krive konstantne širine. To jest, maksimalni odnos površina sa obe strane prečnika, što je još jedna mera asimetrije, veći je za Roloov trougao nego za druge krive konstantne širine.<ref>{{citation
 | last1 = Groemer | first1 = H.
 | last2 = Wallen | first2 = L. J.
 | issue = 2
 | journal = Beiträge zur Algebra und Geometrie
 | mr = 1865537
 | pages = 517–521
 | title = A measure of asymmetry for domains of constant width
 | volume = 42
 | year = 2001}}.</ref>

Među svim oblicima konstantne širine koji izbegavaju sve tačke [[integer lattice|celobrojne rešetke]], onaj sa najvećom širinom je Reloov trougao. On ima jednu od svojih osa simetrije paralelnu sa koordinatnim osa na polucelobrojnoj pravoj. Njegova širina, otprilike 1,545, je koren polinoma stepena 6 sa celobrojnim koeficijentima.<ref name="finch" /><ref>{{harvtxt|Gruber|1983|page=78}}</ref><ref>{{citation
 | last = Sallee | first = G. T.
 | journal = [[Pacific Journal of Mathematics]]
 | mr = 0240724
 | pages = 669–674
 | title = The maximal set of constant width in a lattice
 | url = http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102983320
 | volume = 28
 | issue = 3
 | year = 1969
 | doi=10.2140/pjm.1969.28.669| doi-access = free
 }}.</ref>

Kao što je moguće da krug bude okružen sa šest podudarnih krugova koji ga dodiruju, takođe je moguće rasporediti sedam podudarnih Roloovih trouglova tako da svi stupe u kontakt sa centralnim Roloovim trouglom iste veličine. Ovo je najveći mogući broj za bilo koju krivu konstantne širine.<ref>{{citation
 | last = Fejes Tóth | first = L. | author-link = László Fejes Tóth
 | journal = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica
 | mr = 0221388
 | pages = 363–367
 | title = On the number of equal discs that can touch another of the same kind
 | volume = 2
 | year = 1967}}; {{citation
 | last = Schopp | first = J.
 | journal = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica
 | language = de
 | mr = 0285983
 | pages = 475–478
 | title = Über die Newtonsche Zahl einer Scheibe konstanter Breite
 | volume = 5
 | year = 1970}}.</ref>

[[File:Reuleaux kite.svg|thumb|250px|[[equidiagonal quadrilateral|Ekvidijagonalni]] [[kite (geometry)|deltoid]] koji maksimizira odnos perimetra i prečnika, upisan u Roloov trougao.]]

Među svim [[Четвороугао|četvorouglovima]], oblik koji ima najveći odnos svog [[perimeter|perimetra]] i [[diameter|prečnika]] je [[equidiagonal quadrilateral|ekvidijagonalni]] [[kite (geometry)|deltoid]] koji se može upisati u Roloov trougao.<ref name="kite">{{citation |first=D.G. |last=Ball |title=A generalisation of π |journal=[[The Mathematical Gazette]] |volume=57 |issue=402 |year=1973 |pages=298–303 |doi=10.2307/3616052|jstor=3616052 }}; {{citation |first1=David |last1= Griffiths |first2=David |last2=Culpin |title=Pi-optimal polygons |journal=[[The Mathematical Gazette]] |volume=59 |issue=409 |year=1975 |pages=165–175 |doi=10.2307/3617699|jstor= 3617699 }}.</ref>

== Upotreba ==
* [[Rotor]] [[Vankelov motor|Vankelovog motora]] je sličan Reloovom trouglu.
* [[Burgija|Burgijom]] u obliku Reloovog trougla može da se izbuši rupa koja je skoro savršeni kvadrat. Takvu burgiju je 1914. projektovao i patentirao [[Heri Vats]] ({{jez-en|Harry Watts|el}}). Ta burgija je konkavna na tri mesta, što omogućava sečenje uglova kvadrata i odstranjivanje strugotine.

== Trodimenzionalna verzja ==
Presek [[lopta|lopti]] poluprečnika ''-{r}-'' iz centa pravilnog [[tetraedar|tetraedra]] čija je stranica ''-{r}-'' se zove [[Reloov tetraedar]], ali nije [[površ sa konstantnom širinom]]. Ali, može da se napravi da bude površ sa konstantnom širinom, koji se zove [[Majsnerov tetraedar]], tako što se ivični lukovi zamene krivim umecima; alternativno, [[rotaciona površ]] Reloovog trougla kroz jednu njegovu osu simetrije formira površ konstantne širine, sa najmanjom zapreminom od svih rotacionih površi date konstantne širine.

== Reference ==
{{Reflist|30em}}

== Spoljašnje veze ==
{{Commons category|Reuleaux triangles}}
* {{mathworld|id=ReuleauxTriangle|title=Reuleaux Triangle|mode=cs2}}
* [http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html Weisstein, Eric W. "Reuleaux Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.] - Reloov trougao na sajtu -{MathWorld}-

{{нормативна контрола}}

{{СОРТИРАЊЕ:Релоов троугао}}
[[Категорија:Многоуглови]]
[[Категорија:Krive]]
[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Троугао]]