Извор странице Diofantove jednačine

[[File:Rtriangle.svg|thumb|Pronalaženje svih [[Питагорина тројка|pravih trouglova sa celobrojnim dužinama stranica]] ekvivalentno je rešavanju Diofantove jednačine {{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>}}.]]

'''Diofantova jednačina''' je algebarska jednačina s dve ili više nepoznatih s celobrojnim koeficijentima u kojoj se traže celobrojna ili [[Skup racionalnih brojeva|racionalna]] rešenja. Ime je dobila po [[Diofant]]u koji je prvi sistematski proučavao takve jednačine.<ref>{{Cite book|first=L. J.|last=Mordell |authorlink=Louis Mordell | title=Diophantine equations | publisher=[[Academic Press]] |year=1969 | isbn=978-0-12-506250-3 | zbl=0188.34503 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=30 }}</ref> ''Linearna Diofantova jednačina'' izjednačava zbir dva ili više [[Моном|monoma]], svaki [[Degree of a polynomial|stepena]] 1 u jednoj od promenljivih, sa konstantom. ''Eksponencijalna Diofantova jednačina'' je ona u kojoj eksponenti na članovima mogu biti nepoznati.

== Primeri ==

U sledećim Diofantovim jednačinama, {{math|''w''}}, {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, i {{math|''z''}} su nepoznate, a ostalim slovima su date konstante:

{| class="wikitable"
| {{math|''ax'' + ''by'' {{=}} 1}}|| Ovo je linearna Diofantova jednačina.
|-
| {{math|''w''<sup>3</sup> + ''x''<sup>3</sup> {{=}} ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>3</sup>}}|| Najmanje netrivijalno rešenje u pozitivnim celobrojnim brojevima je 12<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> = 9<sup>3</sup> + 10<sup>3</sup> = 1729. Poznato je po tome što mu je dato evidentno svojstvo 1729. godine, [[Таксикеб број|broj taksija]] (takođe nazvan [[1729 (број)|Hardi–Ramanudžanov broj]]), po [[Сриниваса Рамануџан|Ramanudžanu]] i [[Годфри Харолд Харди|Hardiju]] tokom sastanka 1917.<ref>{{cite web |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Quotations/Hardy.html |title=Quotations by Hardy |publisher=Gap.dcs.st-and.ac.uk |accessdate=20. 11. 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120716185939/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Quotations/Hardy.html |archive-date=16. 7. 2012 |url-status=dead }}</ref> Postoji beskonačno mnogo netrivijalnih rešenja.<ref>{{citation|title=An Introduction to Number Theory|volume=232|series=Graduate Texts in Mathematics|first1=G.|last1=Everest|first2=Thomas|last2=Ward|publisher=Springer|year=2006|isbn=9781846280443|page=117|url=https://books.google.com/books?id=Z9MAm0lTKuEC&pg=PA117}}.</ref>
|-
| {{math|''x<sup>n</sup>'' + ''y<sup>n</sup>'' {{=}} ''z<sup>n</sup>''}}||Za {{math|''n''}} = 2 postoji beskonačno mnogo rešenja {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}}: [[Питагорина тројка|Pitagorinih trojki]]. Za veće celobrojne vrednosti od {{math|''n''}}, [[Fermat's Last Theorem|poslednja Fermaova teorema]] (koju je inicijalno objavio Fermat 1637. i [[Ендру Вајлс|dokazao Endru Vajls]] 1995<ref name="wiles">{{cite journal|last=Wiles|first=Andrew|authorlink=Andrew Wiles|year=1995|title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem|url=http://users.tpg.com.au/nanahcub/flt.pdf|journal=Annals of Mathematics|volume=141|issue=3|pages=443–551|oclc=37032255|format=PDF|doi=10.2307/2118559|jstor=2118559|publisher=Annals of Mathematics|access-date=06. 09. 2020|archive-date=10. 07. 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20230710075555/http://users.tpg.com.au/nanahcub/flt.pdf|url-status=}}</ref>) navodi da ne postoje pozitivna celobrojna rešenja {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}}.
|-
| {{math|''x''<sup>2</sup> − ''ny''<sup>2</sup> {{=}} ±1}}||Ovo je [[Pell's equation|Pelova jednačina]], koja je dobila ime po engleskom matematičaru [[John Pell|Džonu Pelu]]. Nju je studirao [[Bramagupta]] u 7. veku, kao i Fermat u 17. veku.
|-
| {{math|{{sfrac|4|''n''}} {{=}} {{sfrac|1|''x''}} + {{sfrac|1|''y''}} + {{sfrac|1|''z''}}}}||[[Erdős–Straus conjecture|Erdos-Štrausova hipoteza]] navodi da, za svaki pozitivni celi broj {{math|''n''}} ≥ 2, postoji rešenje u {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, i {{math|''z''}}, sva od kojih su pozitivni celi brojevi. Iako se obično ne navodi u polinomnom obliku, ovaj primer je ekvivalentan polinomskoj jednačini {{math|4''xyz'' {{=}} ''yzn'' + ''xzn'' + ''xyn'' {{=}} ''n''(''yz'' + ''xz'' + ''xy'')}}.
|-
| {{math|''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> + ''z''<sup>4</sup> {{=}} ''w''<sup>4</sup>}}||[[Euler|Ojler]] je pogrešno pretpostavio da nema netrivijalnih rešenja. [[Noam Elkies|Elkis]] je dokazao da ima beskonačno mnogo netrivijalnih rešenja, a Fraj je računarskom pretragom odredio najmanje netrivijalno rešenje.<ref>{{cite journal |author=Noam Elkies |title=On ''A''<sup>4</sup> + ''B''<sup>4</sup> + ''C''<sup>4</sup> = ''D''<sup>4</sup> |url= https://www.ams.org/journals/mcom/1988-51-184/S0025-5718-1988-0930224-9/S0025-5718-1988-0930224-9.pdf |journal=[[Mathematics of Computation]] |year=1988 |volume=51 |issue=184 |pages=825–835 |doi=10.2307/2008781 |mr=0930224 |jstor=2008781}}</ref>
|}

== Linearne Diofantove jednačine ==
{{div col}}
Diofantova [[linearne jednačine|linearna jednačina]] je [[Jednačine|jednačina]] oblika:
::<math>ax+by=c</math> 
gdje su -{a, b}- i -{c}- neki [[Skup celih brojeva|celi brojevi]].

;Primer
:<math> x= - \frac{5}{3}y</math>
:Kako je x ceo broj to je y deljivo sa 3
:<math>y=3t</math>
:odnosno
:<math>x=-5t </math>
:<math>(x,y)=(-5t,3t)</math>

;Teorema
Diofantova jednačina <math>ax+by=c</math>, gde su <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> celi brojevi <math>a^2+b^2 \ne 0,</math> ima celobrojna rešenja ako i samo ako <math>M(a,b)</math> deli <math>c</math>.

Ako su <math>x_0</math> i <math>y_0</math> rešenja te jednačine onda su sva rešenja oblika
:<math>x=x_0+\frac{b}{d}t</math>

:<math>y=y_0 +\frac{a}{d}t</math>
Rešenje <math>(x_0,y_0)</math> naziva se partikularno rešenje Diofantove jednačine. Opšte rešenje je zbir partikularnog rešenja i rešenja homogene jednačine <math>ax + by =0</math>

;Primer
:<math>3x+5y=8</math>

Partikularno rešenje je <math>(1,1)</math>, a rešenja pripadne homogene jednačine su <math>(-5t, 3t)</math>, <math>t\in Z</math>

Rešenja jednačine su parovi <math>(1-5t,1+3t)</math> za <math>t\in Z</math> Za pronalaženje partikularnog rešenja Diofantove jednačine korististi se [[Euklidov algoritam]] pomoću kojeg određuju celi brojevi <math>k</math> i <math>l</math> za koje vredi <math>ax + by =d</math>, gde je <math>d = M (a,b)</math>, a zatim množenjem sa <math>\frac{c}{d}</math> dobija se partikularno rešenje.

;Primer
:<math>1000x - 123y=5</math>
:<math>1000=8*123+16</math>
:<math>123=7*16+11</math>
:<math>16=1*11+5</math>
:<math>11=2*5+1</math>
pa je
:<math>16  =  1000 -8*123</math>
:<math>11  =  123 - 7*16</math>
:<math>5=16 -1*11</math>
:<math>1=11- 2*5</math>

U poslednju jednakost se uvrsti izraz za broj 5 iz pretposlednje jednakosti
:<math>1 = 11- 2*5=11 -2*(16 -11*1) = 3*11- 2*16</math>
:<math>1=3*(123-16*7)-2*16 = 3*123-23*16</math>
:<math>1=3*123 - 23*(1000-8*123) =-23*1000 + 187*123</math>

tj.
:<math>1= -23*1000 + 187*123</math> <math>/*5</math>
:<math>5= - 115*1000 + 935*123</math>
:<math>x_0= -115</math>
:<math>y_0=-935</math>
:<math>x=123t</math>
:<math>y=1000t</math>

Rešenje date jednadnačine je
:<math>x=-115+123t</math>
:<math>y=-935+1000t</math> <math>t\in Z</math>

;Primer
Za prevoz neke robe raspolaže se vrećama od 40&nbsp;kg i 60&nbsp;kg. Koliko treba uzeti jednih, a koliko drugih da se preveze 500&nbsp;kg robe

Zadatak se može rešiti [[Леонард Ојлер|Ojlerovom]] metodom
:<math>40x+60y=500</math>
:<math>2x+3y=25</math> za <math>x \ge 0</math> i <math>y \ge 0</math>
:<math>x=\frac{25-3y}{2}= 12-y + \frac{1-y}{2}</math>
:<math>\frac{1-y}{2}=u</math> <math>u \ Z</math>
:<math>2u+ y= 1 </math>
:<math>y=1-2u</math>
:<math>x=12-(1-2u)+u=11+ 3u</math>

Rešenja jednadčine su parovi <math>(x,y</math>) gde je <math>x=11+3u</math> i <math>y=1-2u</math>
:<math>- \frac{11}{3} \le  u \le\frac{1}{2} = >  u= -3, -2,-1,0</math>

Traženi parovi <math>(x,y</math>) su <math>(2, 7)</math> <math>(5,5)</math> <math>(8,3)</math> i <math>(11,1)</math>
{{div col end}}

== Nelinearne Diofantove jednačine ==
{{div col}}
Ne postoji univerzalna metoda rešavanja ovih jednačina, ali zato postoji niz metoda kojima se rešavaju neki specijalni tipovi nelinearnih Diofantovih jednačina. Neki od tih metoda su:
# metod faktorizacije
# metod razlomka
# metod poslednje cifre
# metod kongruencije
# metod zbira potencija s parnim eksponentima
# metod nejednakosti

=== Metod faktorizacije ===
Metod faktorizacije sastoji se u tome da se jedna strana jednačine zapiše u obliku [[proizvod]]a celobrojnih vrednosti, pa uzimajući u obzir drugu stranu jednačine posmatraju se mogući slučajevi.

:<math>xy+x-3y-3=0</math>
:(<math>x-3)(y+1)=3</math>
Ovo je moguće za

{| class="wikitable"
|-
! x-3 !! y+1
|-
| 1|| 3
|-
| -1 || -3
|-
| 3 || 1
|-
| -3 || -1
|}
:odnosno
:{| class="wikitable"
|-
| x|| y
|-
| 4|| 2
|-
| 2 || -4
|-
| 6 || 0
|-
| 0 || -2
|}

=== Metod razlomka ===
Osnovna ideja ovog metoda slična je kao kod metode faktorizacije, samo što se sada jedna stranu jednačine zapisuje u obliku razlomka dve celobrojne vrednosti, dok druga strane jednačine ima takođe celobrojnu vrednost. Zbog toga nazivnik tog razlomka mora deliti brojnik, što daje klasifikaciju mogućih slučajeva. Spomenuti razlomak se u praksi najčešće dobija tako da se jedna nepoznata izrazi kao racionalna funkcija druge.
:<math>xy+2y=x</math>
:<math>y(x+2)=x</math>
:<math>y=\frac{x}{x+2}= 1- \frac{2}{x+2}</math>
:<math>x \ \begin{Bmatrix}
  -1,-3,0,-4 \end{Bmatrix}</math>
:<math>y \ \begin{Bmatrix}
  -1,3,0,-2 \end{Bmatrix}</math>

=== Metod poslednje cifre ===
Metod poslednje cifre je podmetod metoda ostataka koji koristi ispitivanje ostataka pri deljenju brojem 10. Preciznije, razdvajanje slučajeva se vrši posmatranjem zadnje cifre nekih delova jednačine, te njihovim usklađivanjem.

:<math>x^2+ 5y = 199519941993</math>
Kvadrat celog broja završava cifrom 0, 1, 4, 5, 6, ili 9, a broj <math>5y</math> sa 0 ili 5, pa zbir na levoj strani završava sa 0, 1, 4, 5, 6, ili 9, a ne sa 3. Jednačina nema rešenja.

=== Metod kongruencije ===
:<math>x^2-4y=1995 </math>
:<math>1995</math> neparan, a <math>4y</math> paran, pa je <math>x</math> neparan
:<math>x=2k-1</math>
:<math>(2k-1)^2-4y=1995 </math>
:<math>4k^2-4k+1-4y=1995</math>
:<math>4(k^2+k-y)=1994</math>
Jednačina nema rešenja, jer 1994 nije deljivo sa 4

=== Metod zbira potencija s parnim eksponentima ===
Metod zbira je sličan metodu faktorizacije, samo što se sada jedna strana jednačine zapisuje u obliku zbira (najčešće nenegativnih) celih brojeva.
:<math>x^2+y^2+2x-4y+8=0</math>
:<math>(x+1)^2+ (y-2)^2= 13 </math>
:<math>(x+1)^2=9</math>
:<math>(y-2)^2=4</math>
:<math>(x,y) \in  \begin{Bmatrix}   (1,5),(2,4) \end{Bmatrix}</math>

=== Metod nejednakosti ===
Ovaj metod se često koristi da bi se smanjio skup mogućih rešenja date jednačine, a zatim se na tom smanjenom skupu razlikuju slučajevi. Na tom smanjenom skupu razlikuju se slučajevi. Metod nejednakosti se često koristi i u kombinaciji s nekim drugom metodom za rešavanje nelinearnih Diofantovih jednačina
:<math>3^x+4^x=5^x</math>
:<math>x=2</math>
:<math>3^x+4^x=5^x</math> <math>/ : 5^x</math>
:<math>(\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x =1</math>
za <math>x <2</math>
:<math>(\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x > 1</math>
za <math>x > 2</math>
:<math>(\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x < 1</math>
Jednačina ima samo jedno rešenje <math>x=2</math>
{{div col end}}

== Pelove i pelovske jednačine ==
Neka je zadata jednačina
:<math>x^2+y^2=z^2</math>

Uređena trojka (x,y,z) koja zadovoljava zadatu jednačinu se naziva [[Pitagorine trojke|Pitagorina trojka]]. Ako su brojevi x y z relativno prosti onda je to primitivna Pitagorina trojka

U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojci tačno je jedan od brojeva <math>x</math>,<math>y</math> neparan. Za <math>x</math>,<math>y</math>
parne se ne bi radilo o primitivnoj Pitagorinoj trojci

Diofantova jednačina oblika
:<math>x^2-dy^2=a</math> gde je <math>d \in N</math> i nije potpun kvadrat je Pelova jednačina.

Pelova jednačina ima beskonačno mnogo rešenja u [[Skup prirodnih brojeva|skupu prirodnih brojeva]]. Ako se pronađe najmanje (osnovno) rešenje <math>(x_e, y_e)</math>, preostala rešenja <math>(x_n, y_n)</math> se mogu generisati na sledeće načine
# :<math>x_n+y_n \sqrt{d} </math> <math>= ( x_n+y_n \sqrt{d} )^n</math>
# :<math>x_{n+1} =2x_nx_e -x_{n-1}</math> i <math>y_{n+1} =2x_ny_e -y_{n-1}</math> za <math>(x_0,y_0)=(1,0)</math> i <math>(x_1,y_1)=(x_e,y_e)</math>
# :<math>x_{n+1} =x_ex_n +y_edy_n</math> i <math>y_{n+1} =x_ey_n +y_edx_n</math>

Jednačina
:<math>x^2-dy^2=1</math> je Pelovska jednačina (jednačina Pelovog oblika)
Za razliku od Pelove jednačine ova jednačina nema uvek celobrojno rešenje.<ref>{{Cite web |url=http://sanda.striga.org/doc/Diofantske_jednadzbe.pdf |title=Diofantske jednadžbe / Pelove i pelovske jednadžbe |access-date=28. 12. 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160408061439/http://sanda.striga.org/doc/Diofantske_jednadzbe.pdf |archive-date=8. 4. 2016 |url-status=dead |df= }}</ref>

== Erdos–Štrausova hipoteza ==

Ovom hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve <math>n \ge 2</math> postoji racionalni broj <math>4/n</math> koji se može iskazati kao zbir tri jedinična razlomka s pozitivnim, celobrojnim nazivnicima kako sledi:
:<math>  \frac{4}{n} =  \frac{1}{x} +  \frac{1}{y} +\frac{1}{z}.  \,  </math>

;Primer
:za <math>n = 1801</math>, postoji rešenje jednačine gde je <math>x = 451</math>, <math>y = 295364</math> i <math>z = 3249004</math>.

Pomnože li se obe strane jednačine sa <math>nxyz</math>, nalazi se Diofantova jednačina oblika:
:<math> 4xyz=n(xy+xz+yz).\, </math> <ref>[https://wlod.wordpress.com/2010/06/13/4-parametrowa-seria-rozwiazan-rownania-erdosa-strausa/ 4-parametrowa seria rozwiązań równania Erdősa-Strausa]</ref>

== Reference ==
{{reflist}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book|ref=harv|last=Schmidt | first=Wolfgang M. |authorlink=Wolfgang M. Schmidt | title=Diophantine approximations and Diophantine equations | series=Lecture Notes in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] |year=1991 | isbn=978-3-540-54058-8 | volume=1467 | location=Berlin | zbl=0754.11020 }}
* {{Cite book|ref=harv|first=T. N.|last=Shorey | first2=R.|last2=Tijdeman |author2-link=Robert Tijdeman| title=Exponential Diophantine equations | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=87 | publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1986 | isbn=978-0-521-26826-4 | zbl=0606.10011 }}
* {{Cite book|ref=harv|first=Nigel P.|last=Smart | title=The algorithmic resolution of Diophantine equations | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=41 | publisher=Cambridge University Press |year=1998 | isbn=978-0-521-64156-2 | zbl=0907.11001 }}
* {{Cite book|ref=harv|first=John | last=Stillwell | title=Mathematics and its History | edition=Second | publisher=Springer Science + Business Media Inc. |year=2004 | isbn=978-0-387-95336-6}}
* {{Cite book|ref=harv| last=Dickson | first=Leonard Eugene |author-link=Leonard Eugene Dickson | title=[[History of the Theory of Numbers]]. Volume II: Diophantine analysis | origyear=1920 | zbl=1214.11002 | mr=0245500 | location=Mineola, NY | publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-44233-4 |year=2005}}
* {{Cite book| first=L. J.|last=Mordell | authorlink=Louis Mordell | title=Diophantine equations | publisher=[[Academic Press]] | year=1969 | isbn=0-12-506250-8 | zbl=0188.34503 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=30 }}
* Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat," ''Revue d'Histoire des Sciences'' 19 (1966), pp.&nbsp;289–306
* Bashmakova, Izabella G. ''[[Diophantus and Diophantine Equations]]''. Moscow: Nauka 1972 [in Russian]. German translation: ''Diophant und diophantische Gleichungen''. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: ''Diophantus and Diophantine Equations''. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
* Bashmakova, Izabella G. “[https://web.archive.org/web/20190403144351/https://core.ac.uk/download/pdf/81109310.pdf Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré]” ''Historia Mathematica'' 8 (1981), 393-416.
* Bashmakova, Izabella G., Slavutin, E.I. ''History of Diophantine Analysis from Diophantus to Fermat''. Moscow: Nauka 1984 [in Russian].
* Bashmakova, Izabella G. “Diophantine Equations and the Evolution of Algebra,” ''American Mathematical Society Translations'' 147 (2), 1990, pp.&nbsp;85–100. Translated by A. Shenitzer and H. Grant.
* Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. ''Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique'', Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
* Rashed, Roshdi, ''Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat'', Berlin, New York : Walter de Gruyter.

{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
{{Commonscat-lat|Diophantine equation}}
* -{[http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation.html Diophantine Equation]. From [[MathWorld]] at [[Wolfram Research]]}-.
* {{Springer|id=d/d032610|title=Diophantine equations}}
* -{[http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM Dario Alpern's Online Calculator]}-
* [https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/diofant.pdf Diofantske jenačine] {{Wayback|url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/diofant.pdf |date=20120611184820 }}

{{L|Грчка математика}}
{{Authority control-lat}}

[[Категорија:Диофантске једначине| ]]