Legendrova transformacija

Legendrova transformácija [ležándrova ~] je v matematiki dvočlena involucijska aritmetična operacija, s katero lahko izrazimo funkcijo z drugo množico spremenljivk. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru.

Naj bo funkcija f funkcija dveh spremenljivk, x in y. Popolni diferencial te funkcije je enak:

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,\mathrm {d} y\!\,.$

Vpeljemo lahko novi spremenljivki u in v:

$u={\frac {\partial f}{\partial x}}\!\,,$

$v={\frac {\partial f}{\partial y}}\!\,.$

Z njima lahko popolni diferencial zapišemo kot:

$\mathrm {d} f=u\,\mathrm {d} x+v\,\mathrm {d} y\!\,.$

Množico spremenljivk lahko zamenjamo tako, da definiramo funkcijo g(u, y):

$g=f-ux\!\,.$

Popolni diferencial te funkcije je enak:

$\mathrm {d} g=\mathrm {d} f-u\,\mathrm {d} x-x\,\mathrm {d} u\!\,.$

Če upoštevamo še izraz za popolni diferencial df, dobimo:

$\mathrm {d} g=-x\,\mathrm {d} u+v\,\mathrm {d} y\!\,.$

Pri tem velja:

$x=-{\frac {\partial g}{\partial u}}\!\,,$

$v={\frac {\partial g}{\partial y}}\!\,.$

Tako definirana funkcija g je Legendrova transformiranka funkcije f.

Legendrova transformacija se veliko uporablja v fiziki, npr. v analitični mehaniki, kjer povezuje Lagrangeevo in Hamiltonovo funkcijo, v termodinamiki pri definiciji termodinamskih potencialov ter v kvantni mehaniki pri transformaciji med p- in q-reprezentacijo.