Pojdi na vsebino

Funkcija digama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Graf funkcije
Funkcija digama v kompleksni ravnini. Barva točke označuje vrednost . Močne barve pomenijo vrednosti blizu 0, odtenek pa označuje vrednost argumenta.

Funkcija digama je v matematiki specialna funkcija določena kot logaritemski odvod funkcije Γ:

Označuje se z grškima črkama, veliko črko digama (Ϝ) in pogosteje z malo ali veliko črko psi (ψ, Ψ), ali pa tudi kot , oziroma . Je prva od funkcij poligama, ki so njeni n-ti odvodi.

Z veliko črko digama včasih označujejo funkcijo digama, definirano s fakulteto:

Obe tako definirani funkciji sta povezani z:

Povezava s harmoničnimi števili

[uredi | uredi kodo]

Funkcija ψ je povezana s harmoničnimi števili:

kjer je Hn n-to harmonično število, γ pa Euler-Mascheronijeva konstanta. Za polovične vrednosti se jo lahko izrazi kot:

Integralski izrazi

[uredi | uredi kodo]

Izrazi se jo lahko z integralom:

ki velja, če je realni del od pozitiven. To se lahko zapiše kot:

kar sledi iz Eulerjeve integralske formule za harmonična števila.

Razvoji v vrsto v kompleksnem

[uredi | uredi kodo]

Za absolutni vrednost argumenta veljata razvoja v vrsti:[1]

Funkcijo ψ se lahko izračuna v kompleksni ravnini razen za negativna cela števila s pomočjo vrste:[2]

Taylorjeva vrsta

[uredi | uredi kodo]

Funkcija ψ ima racionalno vrsto zeta, ki je dana s Taylorjevo vrsto pri z=1:

Vrsta konvergira za |z|<1. Tukaj je Riemannova funkcija ζ. Vrsto se lahko preprosto izpelje iz ustrezne Taylorjeve vrste za Hurwitzevo funkcijo ζ.

Newtonova vrsta

[uredi | uredi kodo]

Newtonova vrsta za funkcijo ψ sledi iz Eulerjeve integralske formule:

kjer je binomski koeficient.

Refleksijska formula

[uredi | uredi kodo]

Za funkcijo ψ velja refleksijska formula, ki je podobna tisti za funkcijo Γ:

Rekurenčna enačba

[uredi | uredi kodo]

Za funkcijo ψ velja rekurenčna enačba:

Lahko se reče, da je »teleskop« za 1/x, saj velja:

kjer je Δ sprednji diferenčni operator. To odgovarja rekurenčni enačbi delnih vsot harmonične vrste, od koder sledi enačba:

V splošnem velja:

Gaussovska vsota

[uredi | uredi kodo]

Funkcija ψ ima gaussovsko vsoto oblike:

za cela števila . Tukaj sta ζ(s,q) Hurwitzeva funkcija ζ in Bernoullijev polinom. Poseben primer multiplikacijskega izreka je:

posplošitev pa:

kjer je q naravno število, 1-qa pa ne.

Gaussov izrek za funkcijo ψ

[uredi | uredi kodo]

Za pozitivni celi števili m in k (m < k) se lahko funkcijo ψ izrazi s pomočjo elementarnih funkcij kot:

Računanje in približki

[uredi | uredi kodo]

Po algoritmu AS 103 v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda se lahko izračuna funkcijo ψ za realni x z:

ali:

Tu je n celo število, pa n-to Bernoullijevo število, pa Riemannova funkcija ζ.

Druge značilnosti

[uredi | uredi kodo]
  • Razvoja v neskončno vrsto:
kjer je Riemannova funkcija ζ.
  • Logaritemski razvoj:
  • Dvakratni argument:

Posebne vrednosti

[uredi | uredi kodo]

Sledi nekaj posebnih vrednosti funkcije ψ.

Glej tudi

[uredi | uredi kodo]

Sklici

[uredi | uredi kodo]
  1. Abramowitz, Stegun, 6.3.14; 6.3.15, str. 259.
  2. Abramowitz, Stegun, 6.3.16, str. 259.
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Anne (1972), »Psi (Digamma) Function. §6.3«, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9. izd.), New York: Dover, str. 258–259, ISBN 978-0486612720, MR 0167642 Glej razdelek §6.4
  • Weisstein, Eric Wolfgang. »Digamma Function«. MathWorld.

Zunanje povezave

[uredi | uredi kodo]
  • Cephes - Matematična knjižnica specialnih funkcij v jezikih C in C++ (angleško)
  • [1] - Statistični algoritem Psi (funkcija digama) v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda (angleško)